Предлагается один из подходов к построению математической модели сложной динамической системы из класса моделей линейных по управлению, для которых характерны магистральные оптимальные решения, получаемые методами теории вырожденных задач. Приближенные магистральные решения используются в качестве первого приближения в многоэтапной процедуре уточнения, как самой модели, так и решения оптимизационной задачи. Эффективность такого подхода демонстрируется на прикладной задаче моделирования и исследования социо-эколого-экономической системы региона.
математическая модель, вырожденная задача, магистральное решение, ослабленная система, скользящий режим, эколого-экономическая задача.
Введение
В современной научной литературе нет строгой формулировки понятия математического моделирования. В целом, под этим термином понимается некий научный подход к построению и использованию математической модели исследуемой реальной системы, объекта, явления, процесса, направленный на сокращение времени и средств, затрачиваемых на исследование реального объекта — прогнозирования поведения при различных условиях, решение соответствующих математических задач в формализованной постановке, в частности, задач оптимизации.
Понятие математической модели развивалось в работах [1–12] и многих других. Общий принцип построения математических моделей состоит в том, что задается некоторый класс подходящих моделей, из которого выбирается конкретная путем уточнения тех или иных зависимостей, параметрической идентификации и т.п.
Происходит непрерывное усложнение систем, исследуемых математическими методами и, соответственно, возрастают трудности самого процесса исследования. При решении прикладных задач оптимального управления из техники, экономики и других областей эти трудности часто связаны с таким их характерным свойством как вырожденность. Под этим понимается наличие в исследуемой задаче скрытых пассивных дифференциальных связей или дискретных цепочек, исключение которых по существу не меняет искомого решения. Это свойство затрудняет применение общих методов, но, с другой стороны, открывает возможности упрощений при исследовании за счет применения специальных методов теории вырожденных задач [13–16]. Как известно, характерным признаком вырожденности является наличие в исследуемой модели линейных управлений. Задачи для такого класса моделей, с одной стороны, распространены на практике как самостоятельные, а с другой, получаются в результате перехода к эквивалентным ослабленным системам путем овыпукления множества скоростей в исходной модели или его подмножеств [17,18].
1. Матросов В. М. Метод сравнения в динамике систем // Дифференциальные уравнения. I, 1974. Т. 10, № 5, c. 1547-1559.
2. Матросов В. М. Метод сравнения в динамике систем // Дифференциальные уравнения. II, 1975. Т. 11, № 3, c. 403-417.
3. Месарович М., Мако Д, Такахара Я. Теория иерархических многоуровневых систем. М. : Мир, 1973. -- 344 c.
4. Месарович М., Такахара Я. Общая теория систем: математические основы. М. : Мир, 1978. -- 312 c.
5. Моисеев Н. Н. Численные методы в теории оптимальных систем. М. : Наука, 1971. -- 328 c.
6. Моисеев Н. Н. Математические задачи системного анализа. М. : Наука, 1981. -- 488 c.
7. Советов Б. Я., Яковлев С. А. Моделирование систем. М. : Высшая школа, 2001. -- 343 c.
8. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем : Искусство и наука. М. : Мир, 1978. -- 424 c.
9. Самарский А. А. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент // Вестник АН СССР, 1979, № 5, c. 38-49.
10. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование : Идеи. Методы. Примеры. М. : Физматлит, 2002. -- 320 c.
11. Мышкис А. Д. Элементы теории математических моделей. М. : КомКнига, 2007. -- 192 c.
12. Морозов К. Е. Математическое моделирование в научном познании. М. : Мысль, 1969. -- 212 c.
13. Гурман В. И. Вырожденные задачи оптимального управления. М. : Наука, 1977. -- 304 c.
14. Гурман В. И., Ни М. К. Вырожденные задачи оптимального управления (обзор) // Автоматика и телемеханика. I, 2011, № 3, c. 36-50.
15. Гурман В. И., Ни М. К. Вырожденные задачи оптимального управления (обзор) // Автоматика и телемеханика. II, 2011, № 4, c. 57-70.
16. Гурман В. И., Ни М. К. Вырожденные задачи оптимального управления (обзор) // Автоматика и телемеханика. III, 2011, № 5, c. 32-46.
17. Гурман В. И. Принцип расширения в задачах управления. М. : Наука. Физ-матлит, 1997. -- 288 c.
18. Warga J. Relaxed Variational Problems // Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1962. Vol.4, no. 1, p. 38-43.
19. Гурман В. И. Магистральные решения в процедурах поиска оптимальных управлений // Автоматика и телемеханика, 2003, № 3, c. 61-71.
20. Батурин В. А., Урбанович Д. Е. Приближенные методы оптимального управления, основанные на принципе расширения. Новосибирск : Наука, 1997. -- 175 c.
21. Срочко В. А. Итерационные методы решения задач оптимального управления. М. : Физматлит, 2000. -- 160 c.
22. Krotov V. F. Global methods in optimal control. New York : Marcel Dekker, 1996. -- 408 p.
23. Булдаев А. С. Методы возмущений в задачах улучшения и оптимизации управляемых систем. Улан-Удэ : Издательство БГУ, 2008. -- 260 c.
24. Расина И. В. Итерационные алгоритмы оптимизации дискретно-непрерывных процессов // Автоматика и телемеханика, 2012, № 10, c. 3-17. ↑2
25. Гурман В. И., Рюмина Е. В. Моделирование социо-эколого-экономической системы региона. М. : Наука, 2001. -- 175 c.
26. Будаева Д. Ц., Гусева И. С., Насатуева С. Н. Влияние инвестиций и прямых инновационных затрат на оптимальные стратегии развития региона // Программные системы: теория и приложения: электрон. научн. журн., 2012. Т. 3, № 5(14), http://psta.psiras.ru/read/psta2012_5_23-32.pdf, c. 23-32. ↑3
27. Гусева И. С. Магистральное решение второго порядка в задаче экономического роста с учетом инноваций // Вестник БГУ. Вып. 9. Математика и информатика, 2008, c. 19-25.
28. Ухин М. Ю., Ачитуев С. А. Оптимизация стратегий развития региона на многокомпонентной модели // Автоматика и телемеханика, 2008, № 3, c. 178-189. ↑3.2, 3.2
29. Гурман В. И., Матвеев Г. А., Трушкова Е. А. Социо-эколого-экономическая модель региона в параллельных вычислениях // Управление большими системами. -- Вып. 32, 2011, c. 109-130.
30. Гурман В. И., Расина И. В. Сложные процессы // Методы решения задач оптимального управления на основе принципа расширения. -- Новосибирск : Наука, 1990, c. 84-94.
31. Расина И. В. Две формы достаточных условий оптимальности и метод улучшения второго порядка для сложных процессов // Юбилейный сборник научных трудов к 10-летию СИПЭУ. -- Иркутск : Издательство Макаров, 2004, c. 180-192.
32. Гурман В. И. Улучшение управления, реализующего скользящий режим // Автоматика и телемеханика, 2008, № 3, c. 161-171.
