It is proposed one of approaches to constructing of complex dynamic system’s mathematical model on the base of linear on control model’s class. Turnpike solutions are typical for this models when optimal control problem are investigated. The approximate turnpike solutions are used as a first approximation in multistage specification procedure, both the model and the solution of optimization problem. Effectiveness of such approach is shown on an applied modeling and research problem of social-ecology-economic region system.
mathematical model, degenerate problem, turnpike solution, relaxed system, zero-overshoot response, ecology-economic problem.
Введение
В современной научной литературе нет строгой формулировки понятия математического моделирования. В целом, под этим термином понимается некий научный подход к построению и использованию математической модели исследуемой реальной системы, объекта, явления, процесса, направленный на сокращение времени и средств, затрачиваемых на исследование реального объекта — прогнозирования поведения при различных условиях, решение соответствующих математических задач в формализованной постановке, в частности, задач оптимизации.
Понятие математической модели развивалось в работах [1–12] и многих других. Общий принцип построения математических моделей состоит в том, что задается некоторый класс подходящих моделей, из которого выбирается конкретная путем уточнения тех или иных зависимостей, параметрической идентификации и т.п.
Происходит непрерывное усложнение систем, исследуемых математическими методами и, соответственно, возрастают трудности самого процесса исследования. При решении прикладных задач оптимального управления из техники, экономики и других областей эти трудности часто связаны с таким их характерным свойством как вырожденность. Под этим понимается наличие в исследуемой задаче скрытых пассивных дифференциальных связей или дискретных цепочек, исключение которых по существу не меняет искомого решения. Это свойство затрудняет применение общих методов, но, с другой стороны, открывает возможности упрощений при исследовании за счет применения специальных методов теории вырожденных задач [13–16]. Как известно, характерным признаком вырожденности является наличие в исследуемой модели линейных управлений. Задачи для такого класса моделей, с одной стороны, распространены на практике как самостоятельные, а с другой, получаются в результате перехода к эквивалентным ослабленным системам путем овыпукления множества скоростей в исходной модели или его подмножеств [17,18].
1. Matrosov V. M. Metod sravneniya v dinamike sistem. Differentsial´nye uravneniya. I, 1974. T. 10, № 5, c. 1547-1559.
2. Matrosov V. M. Metod sravneniya v dinamike sistem. Differentsial´nye uravneniya. II, 1975. T. 11, № 3, c. 403-417.
3. Mesarovich M., Mako D, Takakhara Ya. Teoriya ierarkhicheskikh mnogourovnevykh sistem. M. : Mir, 1973. -- 344 c.
4. Mesarovich M., Takakhara Ya. Obshchaya teoriya sistem: matematicheskie osnovy. M. : Mir, 1978. -- 312 c.
5. Moiseev N. N. Chislennye metody v teorii optimal´nykh sistem. M. : Nauka, 1971. -- 328 c.
6. Moiseev N. N. Matematicheskie zadachi sistemnogo analiza. M. : Nauka, 1981. -- 488 c.
7. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A. Modelirovanie sistem. M. : Vysshaya shkola, 2001. -- 343 c.
8. Shennon R. Imitatsionnoe modelirovanie sistem : Iskusstvo i nauka. M. : Mir, 1978. -- 424 c.
9. Samarskiy A. A. Matematicheskoe modelirovanie i vychislitel´nyy eksperiment. Vestnik AN SSSR, 1979, № 5, c. 38-49.
10. Samarskiy A. A., Mikhaylov A. P. Matematicheskoe modelirovanie : Idei. Metody. Primery. M. : Fizmatlit, 2002. -- 320 c.
11. Myshkis A. D. Elementy teorii matematicheskikh modeley. M. : KomKniga, 2007. -- 192 c.
12. Morozov K. E. Matematicheskoe modelirovanie v nauchnom poznanii. M. : Mysl´, 1969. -- 212 c.
13. Gurman V. I. Vyrozhdennye zadachi optimal´nogo upravleniya. M. : Nauka, 1977. -- 304 c.
14. Gurman V. I., Ni M. K. Vyrozhdennye zadachi optimal´nogo upravleniya (obzor). Avtomatika i telemekhanika. I, 2011, № 3, c. 36-50.
15. Gurman V. I., Ni M. K. Vyrozhdennye zadachi optimal´nogo upravleniya (obzor). Avtomatika i telemekhanika. II, 2011, № 4, c. 57-70.
16. Gurman V. I., Ni M. K. Vyrozhdennye zadachi optimal´nogo upravleniya (obzor). Avtomatika i telemekhanika. III, 2011, № 5, c. 32-46.
17. Gurman V. I. Printsip rasshireniya v zadachakh upravleniya. M. : Nauka. Fiz-matlit, 1997. -- 288 c.
18. Warga J. Relaxed Variational Problems. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1962. Vol.4, no. 1, p. 38-43.
19. Gurman V. I. Magistral´nye resheniya v protsedurakh poiska optimal´nykh upravleniy. Avtomatika i telemekhanika, 2003, № 3, c. 61-71.
20. Baturin V. A., Urbanovich D. E. Priblizhennye metody optimal´nogo upravleniya, osnovannye na printsipe rasshireniya. Novosibirsk : Nauka, 1997. -- 175 c.
21. Srochko V. A. Iteratsionnye metody resheniya zadach optimal´nogo upravleniya. M. : Fizmatlit, 2000. -- 160 c.
22. Krotov V. F. Global methods in optimal control. New York : Marcel Dekker, 1996. -- 408 p.
23. Buldaev A. S. Metody vozmushcheniy v zadachakh uluchsheniya i optimizatsii upravlyaemykh sistem. Ulan-Ude : Izdatel´stvo BGU, 2008. -- 260 c.
24. Rasina I. V. Iteratsionnye algoritmy optimizatsii diskretno-nepreryvnykh protsessov. Avtomatika i telemekhanika, 2012, № 10, c. 3-17. ↑2
25. Gurman V. I., Ryumina E. V. Modelirovanie sotsio-ekologo-ekonomicheskoy sistemy regiona. M. : Nauka, 2001. -- 175 c.
26. Budaeva D. Ts., Guseva I. S., Nasatueva S. N. Vliyanie investitsiy i pryamykh innovatsionnykh zatrat na optimal´nye strategii razvitiya regiona. Programmnye sistemy: teoriya i prilozheniya: elektron. nauchn. zhurn., 2012. T. 3, № 5(14), http://psta.psiras.ru/read/psta2012_5_23-32.pdf, c. 23-32. ↑3
27. Guseva I. S. Magistral´noe reshenie vtorogo poryadka v zadache ekonomicheskogo rosta s uchetom innovatsiy. Vestnik BGU. Vyp. 9. Matematika i informatika, 2008, c. 19-25.
28. Ukhin M. Yu., Achituev S. A. Optimizatsiya strategiy razvitiya regiona na mnogokomponentnoy modeli. Avtomatika i telemekhanika, 2008, № 3, c. 178-189. ↑3.2, 3.2
29. Gurman V. I., Matveev G. A., Trushkova E. A. Sotsio-ekologo-ekonomicheskaya model´ regiona v parallel´nykh vychisleniyakh. Upravlenie bol´shimi sistemami. -- Vyp. 32, 2011, c. 109-130.
30. Gurman V. I., Rasina I. V. Slozhnye protsessy. Metody resheniya zadach optimal´nogo upravleniya na osnove printsipa rasshireniya. -- Novosibirsk : Nauka, 1990, c. 84-94.
31. Rasina I. V. Dve formy dostatochnykh usloviy optimal´nosti i metod uluchsheniya vtorogo poryadka dlya slozhnykh protsessov. Yubileynyy sbornik nauchnykh trudov k 10-letiyu SIPEU. -- Irkutsk : Izdatel´stvo Makarov, 2004, c. 180-192.
32. Gurman V. I. Uluchshenie upravleniya, realizuyushchego skol´zyashchiy rezhim. Avtomatika i telemekhanika, 2008, № 3, c. 161-171.
