Рассматривается задача оптимизации процессов в спиновой цепочке на основе уравнения Шредингера, содержащего комбинацию линейного и нелинейного управлений. Она преобразуется к регулярной производной задаче по известной из теории вырожденных задач схеме, что существенно повышает эффективность ее исследования итерационными методами. Предлагаемая процедура иллюстрируется на представительном примере.
оптимальное управление, спиновая цепочка, вырожденные задачи, магистральное решение, метод глобального улучшения.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 12-01-00256-а).
Введение
Рассматривается задача оптимизации процессов в спиновой цепочке, описываемых уравнением Шредингера, гамильтониан которого содержит два управления и линейно зависит от одного из них. Квантовые системы такого рода [1, 2] в случае одного управления успешно исследовались с помощью нелокального итерационного метода В.Ф. Кротова [3,4].
В [5] на представительном классе задач управления квантомеханическими системами с учетом их вырожденности показана высокая эффективность априорного преобразования задач с одним линейным управлением к производным задачам меньшего порядка, известного из теории вырожденных задач, благодаря возможности его выполнения в общей аналитической форме. В частности, таким путем получено полное решение в форме оптимального синтеза известной задачи управления на модели Ландау–Зинера 4-го порядка, которая ранее решалась лишь численными итерационными методами В данной работе предлагается применять такой подход и в случае двух управлений [6]. Процедура преобразования при этом усложняется, однако остается аналитической и приводит к регулярной для рассматриваемого метода Кротова задаче, линейной относительно состояния с управляемыми коэффициентами. В отличие от предшествующих работ [7,8], где использовалось семейство производных систем с нелинейным исходным управлением в качестве параметра, здесь применяется более радикальное преобразование к единственной производной задаче, но с большим числом новых управлений.
Постановка задачи и последующее преобразование к производной задаче выполняется в комплексных переменных, в которых традиционно записывается уравнение Шредингера, что делает его компактным и наглядным и в целом отвечает традициям математической физики квантовых систем. Переход к действительным переменным производится на этапе реализации итерационных процедур в вычислительных экспериментах.
1. Кротов В. Ф. Об оптимизации управления квантовыми системами // Докл. РАН, 2008. Т. 423, № 3, c. 316-319.
2. Кротов В. Ф. Управление квантовыми системами и некоторые идеи теории оптимального управления // Автоматика и телемеханика, 2009, № 3, c. 15-23.
3. Кротов В. Ф., Булатов А. В., Батурина О. В. Оптимизация линейных систем с управляемыми коэффициентами // Автоматика и телемеханика, 2011, № 6, c. 64-78.
4. Батурина О. В., Моржин О. В. Оптимальное управление системой спинов на основе метода глобального улучшения // Автоматика и телемеханика, 2011, № 6, c. 79-86.
5. Гурман В. И. Магистральные решения в задачах оптимального управления квантомеханическими системами // Автоматика и телемеханика, 2011, № 6, c. 115-126.
6. Murphy M., Montangero S., Giovannetti V., Calarco T. Communication at the quantum speed limit along a spin chain // Phys. Rev. Lett., 2010, no. 6, http: //arxiv.org/pdf/1004.3445.
7. Gurman V. I., Rasina I. V., Baturina O. V. Optimization of Excitation Transfer in a Spin Chain // Periodic Control Systems. - University of Caen Basse-Normandie, Caen, France, 2013. Vol.5, no. 1, p. 177-180.
8. Гурман В. И., Расина И. В., Фесько О. В. О практических преобразованиях вырожденных задач оптимального управления // Программные системы: теория и приложения: электрон. научн. журн., 2013. Т. 4, № 2(16), http://psta.psiras.ru/read/psta2013_2_71-82.pdf, c. 71-82.
9. Гурман В. И. Вырожденные задачи оптимального управления. М. : Наука, 1977. - 304 c.
10. Гурман В. И. Магистральные решения в процедурах поиска оптимальных управлений // Автоматика и телемеханика, 2003, № 3, c. 61-71.
11. Гурман В. И. Принцип расширения в задачах управления. М. : Наука. Физматлит, 1997. -- 288 c.
12. Трушкова Е. А. Об одном классе задач управления для квантовых систем // Автоматика и телемеханика, 2013, № 1, c. 35-46.
