Moskva, Moscow, Russian Federation
The author has proposed a model for the technical operation of residential buildings, which considers two main functions for maintaining the housing stock: scheduled preventive inspection and repair of technical facilities, as well as the elimination of sudden malfunctions of technical equipment, in particular emergency ones. It is believed that the work team can begin scheduled preventive maintenance and inspection only when all requests for sudden malfunctions have been satisfied. To conduct the study, the theory of queuing is used - one of the probabilistic methods. The main parameters of the model are: the average time between the occurrence of equipment malfunctions, the average time for eliminating such malfunctions, the average time for preventive inspection and repair of one technical object. Based on the methods of queuing theory, the characteristics of the system are determined that determine the quality of its work, as well as the boundaries of changes in parameters at which the system copes with the work from the standpoint of one or another criterion.
maintenance system, scheduled repairs, sudden failures
Актуальность работы
Техническая эксплуатация жилых зданий — комплекс мероприятий, обеспечивающих наибольшую безотказность всех элементов и систем здания (см., например, [1-5]). Основным элементом технической эксплуатации жилых зданий является система планово-предупредительных осмотров и ремонтов. Но даже при их рациональной организации всегда имеется положительная вероятность отказа элементов здания. которая зависит не только от факторов старения конструкции. Отказ может быть вызван случайными обстоятельствами, например недопустимым повышением давления в системах отопления, холодного и горячего водоснабжения и др.
Таким образом, можно выделить две основные функции по техническому обслуживанию жилищного фонда:
- работы по ремонту состояния жилых зданий, профилактическому техническому обслуживанию и ремонтным работам.
- работы но устранению аварийных ситуаций и удовлетворению заявок жильцов на устранение различных неисправностей. Мы будем называть эти работы и соответствующие вызовы экстренными.
Цель управляющей компании с одной стороны, не допускать образования слишком большой очереди из экстренных вызовов, а с другой, — выполнить все планируемые работы по профилактическому техническому обслуживанию.
Целью работы является решение следующих задач:
- выяснить условия на имеющиеся у компании ресурсы, при которых обозначенная цель выполнима;
- построение в некотором смысле оптимального поведения управляющей компании.
Формулировка задачи
Наш анализ опирается на теорию массового обслуживания, являющуюся частью теории вероятностей. Многие исследования как в технологии строительного производства, так и в организации управленческой деятельности основываются на вероятностном подходе, в частности, на результатах теории массового обслуживания (см., например. [1, 6-11]). Предлагаемая в данной статья модель не является классической и относится к так называемым системам с вакансиями, изучение которых началось сравнительно недавно (см., например. [12-15]). Мы считаем, что работа по плановому осмотру и ремонту начинается, только когда нет экстренных вызовов. Если такая работа началась, то по отношению к экстренным вызовам прибор (рабочая бригада) становится недоступен до момента окончания данного цикла плановых работ, что и означает вакансию. Для простоты в этой статье предполагается, что имеется лишь одна рабочая бригада, т.е. один прибор в системе массового обслуживания.
Предполагается, что управляющая компания (УК) жилищно-коммунального хозяйства (ЖКХ) имеет одну или несколько бригад специалистов по обеспечению функционирования технического оборудования (теплоснабжению, водоснабжению, вентиляции и т.д.) жилых зданий. У этих бригад две основные задачи устранение внезапно возникающих поломок оборудования и проведение профилактических осмотров и ремонтных работе целью обеспечения необходимого уровня надежности соответствующих технических систем. Решение указанных задач начинается со сбора и обработки статистических данных, позволяющих получить оценки параметров, определяющих функционирование системы. В качестве этих параметров выступают:
Кроме того предполагается, что бригада может приступить к такому осмотру, только когда нет заявок на экстренный ремонт оборудования. Задача УК выработать такой план профилактических осмотров, при котором, с одной стороны за определенное время Т будет осмотрено и восстановлено необходимое число объектов N, а с другой, среднее число заявок на ремонт внезапно возникших поломок не превосходит заданный уровень
Рассматривается простейшая ситуация, когда в распоряжении УК одна бригада специалистов. Сделаем следующие предположения.
Интервалы между запросами на экстренный ремонт независимые экспоненциально распределенные случайные величины $\{\tau_n\}^\infty_{n=1}$, т.е. $P(\tau_n\leq x)=1-e^{-\lambda x}$
Времена экстренного ремонта поломок $\{\eta_n\}_{n=1}^\infty$
Имеется одна бригада работников, которая может быть занята либо ремонтом внезапно возникших поломок, либо профилактическим осмотром или ремонтом оборудования. Это означает, что в системе обслуживания один прибор. Анализ многоканальных систем значительно.
Бригада может приступить к профилактическому осмотру и ремонту, только когда нет запросов на экстренное обслуживание. Мы назовем также запросы требованиями (или клиентами) первого типа. В момент, когда прибор освобождается от требований первого типа, бригада с вероятностью п приступает к профилактическому осмотру и (если надо) ремонту какого-нибудь объекта. Считаем, что такие объекты всегда есть в наличии и будем называть их требованиями второго тина. Времена обслуживания таких требований также имеют экспоненциальное распределение с параметром р и математическим ожиданием
В моменты освобождения системы от требований первого типа прибор с вероятностью
Рассмотрим процесс
Стационарное распределение процесса X. Для
для j=0,1,2….
Как известно из теории вероятностей (см., например. [18]), эти функции удовлетворяют системе дифференциальных уравнений. Но нас будет интересовать предельные при
$P_{0j}=\lim_{t \to \infty}P_{0j}(t), P_{1j}=\lim_{t \to \infty}P_{1j}(t)$,
поскольку именно они определяют операционные характеристики системы на достаточно больших промежутках времени. Эти пределы существуют и задают распределение вероятностей тогда и только тогда, когда $\rho=\frac{\lambda}{\mu}$
Последовательности вероятностей {
|
|
(1) |
и
|
|
(2) |
Для решения этой системы определим производящие функции
$\Pi_0(Z)=\displaystyle\sum_{j=1}^{\infty}z^jP_{0j},
\Pi_1(Z)=\displaystyle\sum_{j=1}^{\infty}z^jP_{1j}$
где переменная | z |
Умножая j-oe уравнение в (1)и в (2) на
| $\Pi_1(Z)\frac{\alpha\mu P_{01}}{\lambda(1-z)+v}$ |
(3) |
а из (1)
|
$(\lambda+\mu)\Pi_0(z)-\mu P_{00}$ $=v \Pi_1(z)+\lambda z \Pi_0(z)+\frac{\mu}{z}\Pi_0(z)-\frac{\mu}{z}P_{00}-\alpha \mu P_{01}$ |
(4) |
Подставляя (3) в (4), после несложных выкладок получаем
$\Pi0(z)=\frac{1}{1-\rho z}(P_{00}+\frac{\alpha \beta z}{1+\beta(1-z)}P_{01},$
где $\beta=\frac{\lambda}{v}$. Для определения
Toгда
| $\Pi_0(z)=\frac{P_{00}}{1-\rho z}(1+\frac{\alpha \rho \beta(1+\beta)z}{(1+\beta(1-z))(1+\beta-\alpha \beta)})$ |
(5) |
|
$\Pi_1(z)=\frac{\alpha \beta(1+\beta)}{(1+\beta-\alpha \beta)(1+\beta(1-z))}P_{00}$ |
(6) |
неизвестная вероятность
откуда
|
$P_{00}=\frac{(1-\rho)(1+\beta(1-\alpha))}{1+\beta+\alpha \beta^2}=\frac{1-\rho}{1+\gamma},$ |
(7) |
где $\gamma=\frac{\alpha \beta(1+\beta)}{1+\beta-\alpha \beta}.$
Выводы
Соотношения (5)-(7) позволяют найти операционные характеристики, по которым можно судить, насколько УК справляется с решением поставленной проблемы.
Одной из важнейших характеристик системы является среднее число $\bar{
| $\bar{q}=\frac{\rho}{(1-\rho)}+\frac{\alpha\beta^2(1+\beta)}{1+\beta+\alpha\beta^2}$ |
(8) |
Среднее число n(Т) завершений профилактических осмотров и ремонтов за время Т дается выражением
|
$n(T)=v\Pi_1(1)T=v\frac{(1-\rho)\alpha\beta(1+\beta)}{1+\beta+\alpha\beta^2}T$ |
(9) |
Предположим, что компания желает так организовать работу системы, чтобы среднее число вызовов на срочный ремонт, находящихся в системе, не превышало
|
$\bar{q}<\delta_1, v\Pi_1(1)>\frac{N}{T}$ |
(10) |
Здесь
Если
Если
| $\alpha>\frac{(1+\beta)\alpha_1}{1-\beta^2\alpha_1}=\delta_3=\frac{(1+\beta)N}{Tv(1-\rho)\beta(1+\beta)-\beta^2N},$ |
(11) |
которое обеспечивает требуемое среднее число профилактических ремонтов.
Чтобы выполнялись оба неравенства в (10) в соответствии с (11) необходимо и достаточно, чтобы
Это возможно, если
| $\frac{(1+\beta)N}{Tv(1-\rho)\beta(1+\beta)-\beta^2N}<\frac{\delta_1(1-\rho)-\rho}{\beta^2((1+\beta)(1-\rho)+\delta_1)},$ |
(12) |
где
| $N<\frac{Tv(1-\beta)\beta(1+\beta)}{(1+\beta+\beta^2}.$ |
(13) |
Если выполняются (12), (13), выбрав
Если хотя бы одно из условий (12) или (13) не выполняется, следует предпринять действия управленческого характера — увеличить число специалистов, уменьшить число обслуживаемых объектов, увеличить период Т проведения профилактических ремонтов и т.д.
На основе выполненных исследования разработан план практического применения полученных результатов.
Шаг 1. На основании реальных наблюдений находятся статистические оценки $\widehat{\lambda},\widehat{\mu},\widehat{v}$
Шаг 2. Выбираются значения
$\widehat{\delta}_1>\frac{\widehat{\lambda}}{\widehat{\mu}-\widehat{\lambda}},
N<\widehat{\beta}^{-1}T\widehat{v}(1-\widehat{\rho})(1+\widehat{\beta}),$
где
Шаг 3. Вычисляются
Шаг 4. Проверяются условия.
Если $\widehat{\delta}_2>\widehat{\delta}_3$ и, то выбирается $\widehat{\alpha}\in(\widehat{\delta}_2,\widehat{\delta}_3)\cap(0,1)$
Если $\widehat{\delta}_2>\widehat{\delta}_3$; выполнение (10) невозможно и нужно принимать решения управленческого характера.
1. Notenko S.N., Rimshin V.I., Roytman A.G. and others Technical exploitation of buildings: textbook. Moscow, 2008. p. 272-287.
2. Korol' E. A., Dement'eva M. E., Sokova S. D. and others Technical operation of buildings and engineering systems: textbook. Moscow, 2020.
3. Korol' E. A., Rimshin V. I., Chernyshov L. N. and others Housing and communal infrastructure. Operation of engineering networks, systems and equipment. Moscow, 2023.
4. Notenko S.N. and others Technical operation of residential buildings. Moscow, 2000. 497 p.
5. Roschina S.M., Lukin M.V., Lisyatnikov M.S., Timahova N.S. Technical operation of buildings and structure. Moscow, 2018, 232 p.
6. Baydurin A.H., Golovnev S.G. Quality and safety of construction technologies. Chelyabinsk, 2006.
7. Chirkov V.P. Probabilistic methods for calculating reinforced concrete bridge structures. Moscow, 1980. 134 p.
8. Stolbov Yu.V. Statistical methods for quality control of construction work. Moscow, 1982. 87 p.
9. Sparkis B.I. Optimal calculations and control values of random parameters as a means of optimizing reliability // Problems of reliability in construction design. Sverdlovsk, 1972.
10. Kouden D. Statistical methods of quality control. Moscow, 1961. 623 p.
11. Dement’eva M. Factors of quality reduction of exploitation of pitched roofs with a cold attic in conditions of dense urban development // MATES Web Conferences. Vol. 106, 02019, 2017. https://doi.org/10.1051/matecconf/201710602019
12. Sethilinathan B., Jeyakumar S. A study on the behavior of the serever breakdown without interruption in M^[X] |G(a,b)|1 queueing system with multiple vacations and closedown time // Applied Mathematics and Computation, 219, p. 2618-2633, 2012. https://doi.org/10.1016/j.amc.2012.08.096
13. Ayyappan G., Karpagam S. An M^[X] |G(a,b)|1 queueing system with two heterogeneous service, Server breakdown and repair, Multiple vacation Closedown, Balking and stand-by server // IOSR Journal of Mathematics, 12(6), pp. 56-74, 2016.
14. Selvaraju N., Goswami C. Impatient customers in an M|M|1 queue with single and multiple working vacations // Computers and Industrial Engineering, 65(2),207-215, 2013.
15. Servi L.D., Finn S.G. M|M|1 queues with working vacations M|M|1|WV // Performance Evalution, 50(1),41-52, 2002.
16. Saati T.L. Elements of queuing theory and its applications. Moscow, 2010.
17. Borovkov A.A. Probabilistic processes in the theory of queuing, Moscow, 1972.
18. Feller V., Introduction to the theory of probability and its applications. Vol. 2, Moscow, 2021.
