сотрудник
Новочеркасск, Ростовская область, Россия
Новочеркасск, Ростовская область, Россия
с 01.01.2019 по настоящее время
Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова (Общеинженерные дисциплины, профессор)
с 01.01.1980 по 01.01.2019
Москва, г. Москва и Московская область, Россия
Сформулирована математическая модель двухмерного в плане высокоскоростного потока с обоснованием и учетом нескольких физических допущений. В аналитическом виде решена задача в плоскости годографа скорости и в физической плоскости по определению всех параметров в плане течения потока. Сопряжение равномерного потока с течением общего вида в виде «простой волны» позволило достигнуть снижения погрешности математической модели. Показана адекватность представленного метода. Описаны существующие модели недостаточно приемлемые и адекватные по геометрии границы растекания потока, но с большим рассогласованием по местным глубинам и скоростям. Адекватность новой модели в целом характеризуется сходимостью параметров модели как по геометрии (границы растекания потока), так и по кинематике (глубины и скорости потока) повысилась до 18% по обоим направлениям. Участок «простой волны» должен хорошо сочетаться с реальным потоком при учете сил сопротивления потоку. Границы пользования предложенной моделью принадлежат участку расширения потока в 3-7 раз как это требуется в справочной литературе, и уточнены в более ранних работах. Предложенная модель, как это показано в статье, учитывает реальные (экспериментальные) растекания потока и согласуется с ранее выполненными теоретическими исследованиями. Важным выводом в статье является то, что значения критерия Фруда в новой модели могут быть любыми в интервале от 1 до бесконечности и при этом участок «$X_D^I$» может увеличиваться при возрастании числа Фруда.
математическая модель, двухмерный в плане водный поток, уравнения движения, гидравлика открытого канала, аналитическое решение, простая волна
Введение
Объектом исследования являются двумерные плановые потоки, а именно, пространственные потоки, у которых значение скоростей и ускорений по какому-либо направлению пренебрежимо мало. И если это направление нормально к дну водовода, то такие водные потоки называются двумерными плановыми [1]. Необходимо отметить физические допущения для таких потоков [1, 2].
1. Поток в открытом русле, у которого ширина поверхности в несколько раз больше его глубины;
2. Рельеф дна достаточно плавный и искривление струй в плане не слишком велико. Это условие существенно, поскольку при большой кривизне струй образуются значительные перепады свободной жидкости и течение приобретает ярко выраженный пространственный характер.
3. Вертикальные составляющие местных осредненных скоростей и ускорений малы.
4. Векторы скоростей жидких частиц, расположенных на одной вертикали, лежат в одной плоскости.
5. Распределение скоростей на любой вертикали равномерное.
Предметом исследования является математическая модель течения открытого водного потока. Поток свободно растекается за водопропускной трубой прямоугольного сечения и находится в безнапорном режиме. В работе рассматриваются потенциальные в среднем, высокоскоростные потоки, у которых число Фруда больше единицы.
Открытый водный поток при выходе из отверстия может обладать скоростями, существенно превышающими допустимые скорости для неукрепленной части русла. Натурные исследования, выполненные в работах [2, 3], показывают, что основной причиной разрушений гидротехнических сооружений являются опасные размывы нижнего бьефа. Поэтому для расчета крепления отводящего русла проектировщикам ГТС необходима информация по параметрам потока в окрестности выходной кромки трубы (для расчета крепления отводящего русла).
Впервые задача плановой гидравлики поставлена Н.М. Бернадским, В.М. Маккавеевым и разработан один из приближенных методов решения для спокойных (докритических) потоков. Дальнейшее развитие теория плановых потоков получила в работах отечественных исследователей Н.Т. Мелещенко, Г.И. Сухомела, И.И. Леви, С.Н. Нумерова, Ф.И. Франкля, И.А.Шеренкова, Б.Т.Емцева, Л.И. Высоцкого и некоторых зарубежных ученых А.Т. Иппена, Х. Рауза, Д. Гарлемана, и др.
Теория и методы решения задач плановой гидравлики наиболее полно изложены в монографиях Г.И. Сухомела, И.И. Леви, Б.Т. Емцева [1], И.А. Шеренкова [2], В.Н. Коханено [3], В.А. Большакова [4], М.Д. Чертоусова [5].
Различают два основных типа инженерных задач плановой гидродинамики [2]. Первый тип или прямые задачи, в которых, помимо рельефа дна, задается конфигурация русла в плане, т.е. форма его берегов. Дополняя эти данные известными значениями скоростей и глубин в одном из граничных живых сечений, необходимо найти форму свободной поверхности и распределение скоростей в пределах выбранного участка водовода. Второй тип задач — обратные задачи, в которых задается закон изменения некоторых гидравлических параметров и отыскиваются другие параметры потока, а также геометрические характеристики русла (рельеф дна), формирующего указанный поток. При этом необходимо учитывать динамические особенности и свойства течения.
Математической основой указанных выше задач являются квазилинейные дифференциальные уравнения в частных производных. В подавляющем большинстве случаев, вследствие того, что характер движения сложен, получение аналитического решения затруднено.
Поэтому перспективным считается численно-аналитический подход к решению таких задач. Кроме того, приветствуется применение приближенных методов решения.
Известные ранее модели по свободному растеканию высокоскоростного потенциального в среднем потока можно разделить на три группы. Модели основанные на:
- обработке экспериментальных и натурных данных;
- использовании метода характеристик;
- использовании плоскости годографа скорости.
К недостаткам известных моделей можно отнести следующие. Результаты расчетов по модели первой группы могут быть использованы в определенных рамках проведенных экспериментов.
Одним из самых известных методов расчёта параметров высокоскоростного потока является метод И.А. Шеренкова с использованием универсального графика [2], построенного на основе метода характеристик. Однако для практического использования график обладал недостаточной адекватностью. Расхождения между расчетными и экспериментальными значениями достигали 50%. Дальнейшее развитие метод характеристик получил в работах [7-18].
В аналитическом методе, предлагаемом авторами и основанном на использовании плоскости годографа скорости, достигнута погрешность до 20%. Метод хорошо себя зарекомендовал. Однако в моделях раннего периода не учитывалось наличие инерционного фронта и известные положения теории сопряжения равномерного потока с течением общего вида. Не учитывались простые волны в потоке, следовательно не совсем корректно ставилась граничная задача, исходя из известных положений.
Актуальность работы. Результаты работы являются важным этапом в развитии аналитических методов по течению двухмерных в плане открытых водных потоков, а также по сопряжению различных участков потока. Работа является востребованной при проектировании гидротехнических сооружений, в которых водные потоки близки к двухмерным в плане [13-35].
Целью работы является получение аналитического решения задачи построения крайней линии тока при свободном растекании высокоскоростного, потенциального, стационарного, открытого водного потока. При этом требуется определение комплекса параметров высокоскоростного потока за безнапорным отверстием.
Методы решения задачи
Поставленная задача решается аналитически, а также с использованием пакетов прикладных программ [19-21]. Задачу определения границы растекания высокоскоростного потока разобьём на этапы.
1. Выбор схемы растекания потока из накопленных ранее теоретической и экспериментальной информации.
2. Вывод зависимостей для параметров потока.
3. Определение параметров потока вдоль характеристики 1-го семейства в точках ее пересечения с линиями тока с расходом.
4. Определение параметров потока в области течения общего вида.
5. Вывод параметрического уравнения для границы потока.
6. Подтверждение адекватности полученной математической модели реальному потоку.
Рассмотрим свободное растекания бурного потока в широкое гладкое горизонтальное отводящее русло за безнапорной трубой, см. рис. 1. В реальных потоках вследствие сил инерции, сил тяжести и сил сопротивления потоку он принимает форму «лепестка растекания» [1-5]. Для потенциальных высокоскоростных потоков в окрестности выхода потока из трубы, подающей воду, силами сопротивления потоку можно пренебречь [1].
Рис. 1. Схема модели растекания потока: I – участок равномерного течения
(τ=τ_0, $\theta$=0); II – участок переходного основного течения потока;
III – участок радиального течения потока
Проведем анализ интегральных уравнений движения потока.
Уравнение сохранения напора:
$H_0=u^2/2g+h$, (1)
где $H_0=(u_0^2)/2g+h_0$ – постоянная величина; h – местная глубина потока (средняя по сечению); u - местная скорость потока (средняя по сечению); g – ускорение силы тяжести.
Уравнение неразрывности потока:
Q=Buh, (2)
где B – ширина потока.
Введем в системе уравнений (1), (2) параметр $τ=u^2/(2gH_0 )$, который связан с критерием Фруда формулой [1]:
$F=\frac{2τ}{1-τ}$, (3)
F и τ – это параметры, характеризующие кинетичность потока, причем F∈(1,∞), τ∈(1/3,1 для бурных потоков.
Тогда глубину и скорость потока можно выразить через его кинетичность [3]:
$h=H_0$ (1-τ); $u=τ^{1/2} \sqrt{2gH_0}$. (4)
С учетом соотношения (3) систему уравнений (1) и (2) перепишем в виде:
$ \begin{cases}
Q=BH_0 τ^{1/2} \sqrt{2gH_0}(1-τ);\\
h=H_0 (1-τ), u=τ^{1/2} \sqrt{2gH_0}
\end{cases} $ (5)
Исходя из системы равенств (5) и пользуясь известным фактом из гидравлики открытых потоков [1, 3] получим очевидный вывод: бурный поток входя в расширение расширяется и его кинетичность увеличивается. Следовательно в пределе при τ→1 получаем:
$B→∞; h→0; u→u_{max}=\sqrt{2gH_0}$ . (6)
Уравнение характеристики 1-го семейства, выходящей из точки $М_0$ (см. рис. 2), которая принадлежит 1-му участку, имеет вид [1]:
$\theta(τ)=\sqrt{3}arctg\sqrt{\frac{3τ-1}{3(1-τ)}}-arctg \begin{pmatrix}\sqrt{\frac{3τ-1}{1-τ}}+C_1 \end{pmatrix}$ (7)
где $C_1-arctg\sqrt{\frac{3τ_0-1}{1-τ_0}}-\sqrt{3}·arctg \begin{pmatrix}\sqrt{\frac{3τ_0-1}{1-τ_0}}+C_1 \end{pmatrix}$.
При τ→1 имеем
$θ→θ_{max}=C_1+\frac{π}{2}(\sqrt3-1)$.
Известно также [1], что волновой угол (угол между линией тока и характеристикой) $ α=arcsin\sqrt{\frac{1-τ}{2τ}}$ при τ→1 стремится к нулю. Таким образом определяем максимальный угол растекания θmax.
Тогда к условиям (6) необходимо добавить условие предельного угла растекания
$B→∞; h→0; u→u_{max}=\sqrt{2gH0}, θ→θ_{max} . $ (8)
Совокупность условий (8) соответствует участку III на рис. 1 — поток стремится к радиальному потоку. Следовательно задача по определению геометрических и кинематических параметров вдоль границы растекания потока сводится к задаче сопряжения равномерного потока с радиальным потоком.
Выбор схемы растекания потока из накопленных ранее теоретической и экспериментальной информации
Исходя из общих положений теории плановой гидравлики [1-5], сопряжение равномерного потока (I) с радиального растекающимся (IV) возможно только с наличием четырехугольного участка «простые волны» (II), см. рис.2.
Вывод зависимостей для параметров потока
На участке I параметры потока u0, h0, b/2 не изменяются. Точка M0 принадлежит характеристике 1-го семейства с параметрами t0, q=0. Волновой угол в этой точке равен
$a_0=arcsin\sqrt{\frac{1-t_0}{2t_0}}$.
Из теории двухмерных в плане бурных потоков [1] известно, что вдоль характеристики 2-го семейства справедливо равенство
$\frac{dy}{dx}=tg(q-a)$.
Рис. 2. Схема модели растекания потока по участкам:
I – равномерного течения; II – простых волн; III - общего вида;
IV – радиального растекания потока; $X_D^I$ – длина инерционного фронта; M0, M1,…, Mn – характеристика 1-го семейства;
A0M0, A1M1,…, АnMn – характеристики 2-го семейства (отрезки прямых линий);
u0, h0, b/2 – параметры потока на выходе из трубы (скорость, глубина, ширина), подающей воду
Так как q=0; a=a0, M0A/0 и M0A0 прямые линии, четырехугольник на рис. 3 является прямоугольной трапецией. Таким образом при известном расстоянии $X_D^I$ определяется геометрия и кинематика I-го участка растекания потока.
Рис. 3. Схема участка равномерного растекания потока
Для определения параметра $X_D^I$ воспользуемся формулой, приведенной в работах [11-12]
$X_D^I=trunc
\begin{bmatrix}\frac{\sqrt{F_0-1}}{sinθ_{max}(F_0+2)}h_0
\end{bmatrix}+1$ , (9)
где 1 – означает единицу измерения глубины h0. В расчетах это 1 см, в натурных экспериментах — 1 м. Формула (9) выведена из составления структурной формулы и определения коэффициентов методом регрессионного анализа. Для вывода этой формулы была использована информация 70 экспериментов, часть которых опубликована в работе [3].
На участке III, в области течения общего вида, в плоскости годографа скорости линии тока имеют вид
$\Psi=A\frac{sinθ}{τ^{1/2}}=const$, а функция тока $\Psi=\Psi(τ,θ)$ (10)
и удовлетворяют уравнению в частных производных
$\frac{\delta}{\deltaτ}\left\{\frac{2τ}{1-τ}\frac{\delta\psi}{\deltaτ}\right\}+\frac{1-3τ}{2τ(1-τ)^2}\frac{\delta\psi}{\deltaθ}=0$, (11)
приведенному в работе [3]. Соответствующие эквипотенциали выражаются формулой
$\varphi=A\frac{h_0}{H_0}\frac{cosθ}{τ^{1/2}(1-τ)}=const$, а потенциальная функция $\varphi=\varphi(τ,θ)$. (12)
Функция тока (10) и потенциальная функция (12) удовлетворяют системе уравнений в плоскости годографа скорости [1, 3]
$ \begin{cases}
\frac{\delta\varphi}{\deltaθ}=\frac{2h_0}{H_0}\frac{τ}{1-τ}\frac{\delta\varphi}{\deltaτ}\\
\frac{\delta\varphi}{\deltaθ}=\frac{h_0}{2H_0}\frac{3τ-1}{1-τ^2}\frac{\delta\psi}{\deltaθ}
\end{cases}$
При этом справедливы равенства (4) для местных скоростей и глубин.
Одним из решений уравнения (11) является функция
$\psi(τ,θ)=A\frac{sinθ}{τ^{1/2}}$, (13)
которая подходит для описания поведения бурного потенциального в среднем водного потока вдоль линии тока.
В выражении (13): $A=\frac{u_0b}{2sinθ_{max}}$ - постоянная для всего потока [3]; sinθ - функция, возрастающая вниз по течению потока; τ - параметр кинетичности потока также возрастает вниз по течению. Следовательно вдоль фиксированной линии тока (функция (13)) может удовлетворяться условие:
$\psi(τ,θ)=A\frac{sinθ}{τ^{1/2}}=const$.
Линия тока отсекает расход, определяемый коэффициентом K:
QK=KQ ,
где Q – общий расход потока.
Общий расход Q, отнесенный к начальной глубине потока h0 (для верхней части потока относительно оси OX) равен
$Q=u_0\frac{b}{2}=\frac{QK}{2}$ .
Тогда, с учетом выражения (10) получаем зависимость между параметрами потока на участке III вдоль линии тока с расходом, определяемым коэффициентом K:
$\frac{sinθ}{τ^{1/2}}=Ksinθ_{max}, K=\frac{Q_K}{Q}$.
Определение параметров потока в области течения общего вида
1) В плоскости годографа скорости для определения параметров q, t в точке пересечения произвольной линии тока и произвольной эквипотенциали необходимо решить систему уравнений:
$\begin{cases}
A\frac{sin\theta}{\tau^{1/2}}=Ksin\theta_{max};\\
\frac{cos\theta}{\tau^{1/2}(1-\tau)}=\frac{cos\theta_x}{\tau_x^{1/2}(1-\tau_x)}
\end{cases}$ (14)
где K задано; θx, τx – параметры в точке пересечения характеристики первого семейства с линией тока, определяемой коэффициентом расхода K.
Решение системы (14) сводится к решению кубического уравнения [3].
2) Определение координат потока на участке III. Для решения этой задачи воспользуемся дифференциальной связью [3]:
$dx+idy=(dφ+i\frac{h_0}{h}d\psi)\frac{1}{V}e^{iθ}$ (15)
где i – комплексная единица; V – модуль скорости жидкой частицы потока.
Из выражения (15) вдоль линии тока справедливы дифференциальные связи
$dx=\frac{dφ}{V}cosθ;$ $dy=\frac{dφ}{V}sinθ$,
причем
$V=τ^{1/2}\sqrt{2gH_0}; sinθ=K(τ)τ^{1/2}sinθ_{max}; cosθ=\sqrt{1-K^2(τ)τsin^2θ_{max}}.$
Далее интегрированием уравнений (16) определяются координаты X(τ), Y(τ) как приведено в работе [3].
Таким образом на участке потока III (течения общего вида) все параметры потока определяются:
- геометрия потока, т.е. координаты жидкой частицы X(τ), Y(τ);
- параметр кинетичности τ;
- угол θ(τ) наклона вектора скорости к оси симметрии потока Ox;
- величина скорости V(τ);
- глубина потока h(τ).
Определение параметров потока τ, θ вдоль характеристики 1-го семейства в точках ее пересечения с линиями тока расходом, определяемым коэффициентом K
Решая совместно уравнения (7) и (10), определяем коэффициент K как функцию τ:
$K(τ)=\frac{sinθ(τ)}{τ^{1/2}sinθ_{max}}$ . (17)
Задавая параметр τ из уравнения (7) определяем угол q(t), а из уравнения (17) - Kτ .
Параметры τ, θ изменяются вдоль характеристики 1-го семейства, но не изменяются в простых волнах – участок II (от характеристики 1-го семейства до границы потока). Иначе, в плоскости годографа скорости границы потока и характеристики 1- го семейства имеют один и те же вид.
Так как характеристики 2-го семейства прямые линии с постоянными параметрами τ, θ, то в точках пересечения их с границей потока A0, A1,…,An они будут также иметь значения параметров τ, θ.
Для построения крайней линии тока необходимо в точке Мi выбрать пару τ i, θ i и перенести их значения до формирования крайней линии тока в точке Аi, а направление взять вдоль соответствующей линии тока, проходящей через эти точки на характеристике, см. рис. 2.
Вывод параметрического уравнения для границы потока
Используя функции (10), (12) и уравнение связи (15), выражения (16) примут вид
$ dx=\frac{\sqrt{1-K^2(τ)τsinθ_{max}}}{τ^{1/2}\sqrt{2gH_0}}dφ; dy=\frac{K(τ)sinθ_{max}}{\sqrt{2gH_0}}dφ. $ (18)
Потенциальная функция, проходящая через точку τ, θ преобразуется в функцию одной переменной τ:
$ φ(τ,θ)=A\frac{h_0}{H_0}\frac{cosθ}{τ^{1/2}(1-τ)}=A\frac{h_0}{H_0}\frac{\sqrt{1-K2(τ)τsin^2θ_{max}}} {τ^{1/2}(1-τ)}=φ(τ). $ (19)
Из второго уравнения системы (18) и соотношения (17) получим, что
$d[y(τ)]=\frac{K(τ)sinθ_{max}}{\sqrt{2gH_0}}dφ=\psi_1(τ)dτ.$ (20)
Интегрируя (20) с учетом $yτ_0=\frac{b}{2}$, получим совокупность ординат точек потока на его крайней линии
$\psi_1(τ)=\frac{K(τ)sinθ_{max}}{\sqrt{2gH_0}}\frac{dφ}{dt};$ $Y(τ)=\frac{b}{2}+\int_{τ_0}^τ\psi_1(t)dt.$ (21)
Аналогично интегрируя первое уравнение системы (18), получим абсциссы точек потока
$φ(τ)=A\frac{h_0}{H_0}\frac{\sqrt{1-K^2(τ)sinθ_{max}}} {τ^{1/2}(1-τ)}\frac{dφ}{dt};$ $X(τ)=X_D^I+\int_{τ_0}^τφ(t)dt.$ (22)
Интегралы (21), (22) рассчитывались с помощью ППП MathCad.
В частном случае при K=1 из выражения (19) следует:
$d[y(τ)]=\frac{sinθ_{max}}{\sqrt{2gH_0}}dφ,$
где $φ(τ)=A\frac{h_0}{H_0}\frac{cosθ}{τ^{1/2}(1-τ)};$
$Y(τ)=\frac{b}{2}+\frac{sinθ_{max}}{\sqrt{2gH_0}}A\frac{h_0}{H_0}\int_{τ_0}^τ\frac{\sqrt{1-τsin^2θ_{max}}}{ t^{1/2}(1-t)}dt,$
что соответствует теории плановых потоков [1-3].
Скорости и глубины вдоль граничной линии тока при известном t определяются по формулам (4).
Результаты моделирования и их обсуждение
Рассмотрим числовой пример моделирования для свободно растекающегося водного потока в безнапорном режиме за водопропускной трубой прямоугольного сечения со следующими параметрами:
- начальная скорость потока V0=147.7 [см/с];
- начальная глубина потока относительно дна h0=9.27 [см];
- ускорение свободного падения g=981 [см2/с];
- ширина трубы b=16 [см].
Экспериментальные данные заимствованы в работе [3] и для крайней линии тока (в сантиметрах) имеют вид:
$\begin{matrix}
X_Э=(0&4&24&44&64&71)&;\\
Y_Э=(b/2&9.5&32&59&76&80 .
\end{matrix}$
1) Находим кинематику и геометрию I участка растекания потока:
- число Фруда F0=2.397 ;
- гидродинамический напор H0=20.4 м ;
- начальную кинетичность потока τ0=0.545 ;
- волновой угол в точке выхода потока из трубы α0=0.702 p или α0=40°23 ;
- угол наклона вектора скорости потока жидкости к оси ОХ на бесконечности θmax=0.981 p или θmax=56°23 .
- длину инерционного фронта $X_D^I=3$ см ;
- расстояние по оси симметрии потока от конца инерционного участка до точки M0
A0M0=9.46 см ; - длину прямолинейного отрезка характеристики второго семейства между точками A0 и M0 A0M0=1.24 см .
2) Разобьем верхнюю половину трубы на равные отрезки и вычислим коэффициенты расхода K на намеченных линиях тока. Определим параметры потока в точках пересечения конкретной линии тока с характеристикой первого семейства τM, θM . Эти параметры переносим на крайнюю линию тока по простой волне.
3) Вычисляем кинетичность τос потока в точках на оси симметрии при пересечении соответствующей линии тока и эквипотенциали.
4) Строим сетку параметров внутри области общего течения. Линия тока задается коэффициентом расхода, а эквипотенциаль – параметром кинетичности на оси симметрии. Результаты вычислений сведены в таблицу 1.
5) Вычисляем интегралы (21), (22) для получения координат точек потока. Результаты вычислений сведены в таблицу 2.
На рисунке 4 приведен график линий тока и эквипотенциалей потока, построенных по результатам числового расчета.
Выводы
1. В работах [6-18] была предложена модель приемлемой (до 20%) адекватности по геометрии границы растекания потока, но с большим рассогласованием по местным глубинам и скоростям. Адекватность в целом характеризуется сходимостью параметров модели как по геометрии (границы растекания потока), так и по кинематике (глубины и скорости потока). В данной работе авторами достигнута адекватность в пределах до 18% по обоим направлениям.
2. Участок «простые волны», как будет показано в следующих работах, хорошо сочетается с реальным потоком при учете сил сопротивления потоку.
3. Границы пользования моделью принадлежат участку расширения потока $\beta=3\div7$ как это требуется в справочной литературе, и уточнены в работах [4,5].
Таблица 1.
Параметры потока в области его растекания
|
№ шага |
K |
|
|
|
|---|---|---|---|---|
|
0 |
0 |
0.545 |
0 |
0.545 |
|
1 |
0.025 |
0.559 |
0.016 |
0.559 |
|
2 |
0.05 |
0.574 |
0.031 |
0.573 |
|
3 |
0.075 |
0.588 |
0.048 |
0.587 |
|
4 |
0.1 |
0.602 |
0.065 |
0.601 |
|
5 |
0.125 |
0.616 |
0.082 |
0.615 |
|
6 |
0.15 |
0.631 |
0.099 |
0.628 |
|
7 |
0.175 |
0.645 |
0.117 |
0.642 |
|
8 |
0.2 |
0.66 |
0.135 |
0.655 |
|
9 |
0.225 |
0.674 |
0.154 |
0.669 |
|
10 |
0.25 |
0.688 |
0.173 |
0.682 |
|
… |
… |
… |
… |
… |
|
25 |
0.625 |
0.892 |
0.513 |
0.875 |
|
26 |
0.65 |
0.904 |
0.539 |
0.887 |
|
27 |
0.675 |
0.915 |
0.567 |
0.899 |
|
28 |
0.7 |
0.926 |
0.594 |
0.91 |
|
29 |
0.725 |
0.936 |
0.623 |
0.921 |
|
30 |
0.75 |
0.946 |
0.651 |
0.932 |
|
31 |
0.775 |
0.955 |
0.681 |
0.942 |
|
32 |
0.8 |
0.964 |
0.711 |
0.952 |
|
33 |
0.825 |
0.972 |
0.742 |
0.961 |
|
34 |
0.85 |
0.979 |
0.774 |
0.97 |
|
35 |
0.875 |
0.985 |
0.806 |
0.978 |
|
36 |
0.9 |
0.99 |
0.84 |
0.985 |
|
… |
… |
… |
… |
… |
Таблица 2.
Координаты потока в области его растекания (в метрах)
|
№ шага |
|
|
|
|
|
|
|
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
0 |
12.457 |
0 |
0 |
0 |
8 |
8 |
0 |
|
1 |
12.701 |
9.545 |
|
|
9.457 |
9.5 |
0.455 |
|
2 |
12.963 |
9.643 |
|
|
10.304 |
|
|
|
3 |
13.243 |
9.75 |
|
|
11.467 |
|
|
|
4 |
13.542 |
9.868 |
|
|
12.638 |
|
|
|
5 |
13.864 |
9.997 |
|
|
13.818 |
|
|
|
6 |
14.208 |
10.137 |
|
|
14.009 |
|
|
|
7 |
14.578 |
10.29 |
|
|
15.211 |
|
|
|
8 |
14.976 |
10.458 |
|
|
16.425 |
|
0 |
|
9 |
15.406 |
10.64 |
|
|
17.653 |
|
|
|
10 |
15.87 |
10.839 |
|
|
17.897 |
|
|
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
… |
|
25 |
32.967 |
18.501 |
|
|
26.419 |
|
|
|
26 |
35.837 |
19.812 |
|
|
27.862 |
|
|
|
27 |
39.285 |
21.395 |
|
|
29.611 |
|
|
|
28 |
43.492 |
23.337 |
24 |
2.761 |
32.771 |
38 |
15.958 |
|
29 |
48.723 |
25.767 |
|
|
34.496 |
|
|
|
30 |
55.373 |
28.878 |
|
|
38.021 |
|
|
|
31 |
64.057 |
32.975 |
|
|
42.723 |
|
|
|
32 |
75.763 |
38.552 |
|
|
49.222 |
|
|
|
33 |
92.256 |
46.495 |
44 |
5.671 |
58.644 |
59 |
0.607 |
|
34 |
116.791 |
58.462 |
64 |
8.654 |
73.13 |
76 |
3.924 |
|
35 |
156.291 |
77.997 |
71 |
9.855 |
97.332 |
80 |
17.807 |
|
36 |
226.119 |
113.119 |
|
|
122.085 |
|
|
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
4. Модель учитывает реальные (экспериментальные) растекания потока и согласуется с ранее накопленными теоретическими исследованиями [32-37].
5. Значения критерия Фруда в модели могут быть любыми F0∈(1, ∞) . В зависимости от этого участок «XDI » может увеличиваться с возрастанием числа Фруда F0.
Рис. 4. Результаты числового расчета определения границы растекания потока
(граница потока – сплошная линия;
граница потока по экспериментальным данным - точки;
линии тока и эквипотенциали – пунктирные линии)
1. Емцев, Б.Т. Двухмерные бурные потоки. М: Энергия, 1967. 212с.
2. Шеренков, И.А. О планируемой задаче распространения струи турбулентного потока не-сжимаемой жидкости. Известия Академии наук СССР. 1958. № 1. 72-78 с.
3. Коханенко, В.Н. Моделирование бурных двухмерных в плане водных потоков. Ростов н/Д: Изд-во ЮФУ, 2013. - 180 с.
4. Справочник по гидравлике / Под ред. В.А. Большакова. - 2-е изд., перераб. и доп. Киев: Вища школа, 1984. 343 с.
5. Чертоусов, М.Д. Гидравлика. Специальный курс. М.-Л.: Госэнергоиздат, 1962. 624 с.
6. Александрова, М.С. Метод аналогий между гидравликой двухмерных в плане водных потоков и газовой динамикой // Строительство и архитектура. 2020. V.8. 2(27). С. 49-52. DOI:https://doi.org/10.29039/2308-0191-2020-8-2-49-52.
7. Дуванская, Е.В. Решение задачи сопряжения спокойных течений воды в каналах прямо-угольного сечения различной ширины с расширением русла и учетом сил трения. Эко-логия, экономика, технологии и оборудование. Ростов-на-Дону, 2002. C.163-172.
8. Косиченко, Н.В. Анализ изучения и уточнения методов свободного растекания потока за безнапорными водопропускными отверстиями // Вестник СГАУ. 2011. 9. С. 27-33. http://www.sgau.ru/izdatelstvo/vestnik
9. Папченко, Н.Г. Определение уравнения крайней линии тока в плоскости годографа ско-рости в задаче свободного растекания бурного потока за безнапорными трубами // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2013. 3. С. 53-54. ISSN 0321-2653
10. Папченко, Н.Г. Общая технология решения практических задач гидравлики двухмерных в плане стационарных бурных водных потоков аналитическим методом с использовани-ем плоскости годографа скорости // Вестник ВГУ. сер. Физ. Мат. 2014. С. 159-163.
11. Коханенко, В.Н., Кондратенко, А.И., Косиченко, М.Ю., Лидневский, В.И., Келехсаев, Д.Б. Решение задачи свободного растекания потока за безнапорными водопропускными отверстиями. Известия высших учебных заведений // Северо-Кавказский регион. Серия: Естественные науки. 2017. 2 (194). С. 12-25. DOIhttps://doi.org/10.23683/0321-3005-2017-2-15-25
12. Kokhanenko, V.N., Kelekhsaev, D. B., Kondratenko, A.I., Evtushenko S.I. A System of Equa-tions for Potential Two-Dimensional In-Plane Water Courses and Widening the Spectrum of Its Analytical Solutions. AIP Conference Proceedings, 2019. 2188, 050017. DOI:https://doi.org/10.1063/1.5138444
13. Александрова, М.С. Простые волны в теории двухмерных в плане водных потоков и схема их использования для свободного растекания потока //Строительство и архитекту-ра. 2020. Т. 8. 3(28). С. 47-50. DOI:https://doi.org/10.29039/2308-0191-2020-8-3-47-50.
14. Коханенко, В.Н., Александрова, М.С., Кондратенко, А.И. Модель процесса свободного распространения двумерного потока воды за безнапорными отверстиями // Вестник МГСУ. 2021. 16(1). C.67-74. DOI:https://doi.org/10.22227/1997-0935.2021.1.67-74.
15. Бурцева, О.А., Александрова, М.С., Кондратенко, А.И. Решение задачи свободного рас-текания бурного двухмерного водного потока при истечении из безнапорной трубы // Строительство и архитектура. 2021. 9(2). С. 21-25. DOI:https://doi.org/10.29039/2308-0191-2021-9-2-21-25.
16. Александрова, М.С., Кондратенко, А.И. Определение параметров предельного расшире-ния потока в задаче свободного растекания бурного потока. Строительство и архитекту-ра. 2021. 9. 2(31). С. 16-20. DOI:https://doi.org/10.29039/2308-0191-2021-9-2-16-20.
17. Kondratenko, A., Alexandrova, M. Estimation of a motion equations system of a potential two-dimensional in a water flow plan to dimensionless form. IOP Conference Series: Materials Sci-ence and Engineering. "VII International Scientific Conference "Integration, Partnership and Innovation in Construction Science and Education", IPICSE 2020" 2021. С. 012122.
18. Burtseva, O.A., Kokhanenko, V.N., Evtushenko, S.I., Alexandrova, M.S. The model of free spreading a flow rapid behind a rectangular pipe. International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2022. 18(2). Pp. 74-84. DOIhttps://doi.org/10.22337/25879618-2022-18-2-74-84.
19. Папченко, Н.Г. Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ No 2014611308, 2014.
20. Бурцева, О.А. Определение параметров свободно растекающегося потока. Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ, No 2022618552, 2022.
21. Александрова, М.С. Определение параметров потока вдоль крайней линии тока. Свиде-тельство о государственной регистрации программ для ЭВМ, No 2022666655, 2022.
22. Tang, S. L., Antonia, R. A., Zhou, Y. Transport equation for the mean turbulent energy dissipa-tion rate on the centerline of a fully developed channel flow. Journal of Fluid Mechanics. 2015. DOI:https://doi.org/10.1017/jfm.2015.342.
23. Anderson, W., Barros, J.M., Christensen, K.T. & Awasthi, A. Numerical and experimental study of mechanisms responsible for turbulent secondary flows in boundary layer flows over span wise heterogeneous roughness. Journal of Fluid Mechanics. 2015. 768, Pp. 316-347. DOI:https://doi.org/10.1017/jfm.2015.91.
24. Aranda, J.Á., Beneyto, C., Sánchez-Juny, M., Bladé, E. Efficient Design of Road Drainage Sys-tems. Water, 2021. 13. 1661. DOI.org/10.3390/w13121661
25. Marcos Sanz-Ramos, Ernest Bladé, José Luis Aragón-Hernández. Interpreting the manning roughness coefficient in overland flow simulations with coupled hydrological-hydraulic distrib-uted models. Water. 2021. (Switzerland). DOI:https://doi.org/10.3390/w13233433.
26. Anees, M.T. et all. One- and Two-Dimensional Hydrological Modelling and Their Uncertainties. Flood Risk Manag. 2017, 11, 221-244. DOI:https://doi.org/10.5772/intechopen.68924
27. Nematollahi, B., Abedini, M.J Analytical Solution of Gradually Varied Flow Equation in Non-prismatic Channels. Iranian Journal of Science and Technology - Transactions of Civil Engineer-ing. 2020. 44(1). DOI:https://doi.org/10.1007/s40996-019-00316-5.
28. Hager, W., Castro-Orgaz, O. Transcritical Flow in Open Channel Hydraulics: From Böss to De Marchi Journal of Hydraulic Engineering. 2016. 142(1). DOI:https://doi.org/10.1061/(asce)hy.1943-7900.0001091.
29. Hager, W. Unconfined Expansion of Supercritical Water Flow. Journal of Engineering Mechan-ics. 1997. 123(5) Pp. 451-457. DOI https://doi.org/10.1061/(asce)hy.1943-7900.0001091
30. Liu, J. L., Wang, Z. Z., Zhao, Y. F. Explicit equations for critical depth in open channels with complex compound cross sections. Flow Measurement and Instrumentation. 2012. DOI:https://doi.org/10.1016/j.flowmeasinst.2011.12.005.
31. Hubert, Chanson. Explicit equations for critical depth in open channels with complex compound cross sections: A discussion. Flow Measurement and Instrumentation. 2013. DOI:https://doi.org/10.1016/j.flowmeasinst.2012.10.006.
32. Castro-Orgaz, O, Cantero-Chinchilla, F.N. Non-linear shallow water flow modelling over to-pography with depth-averaged potential equations. Environmental Fluid Mechanics 2020. DOI:https://doi.org/10.1007/s10652-019-09691-z
33. Li, J, Li, S.S. Near-bed velocity and shear stress of open-channel flow over surface roughness. Environmental Fluid Mechanics. 2020. DOI:https://doi.org/10.1007/s10652-019-09728-3
34. Jesusdhas V, Balachandar R, Wang H, Murzyn F Modelling hydraulic jumps: IDDES versus experiments. Environmental Fluid Mechanics. 2020. DOI:https://doi.org/10.1007/s10652-019-09734-5
35. Leng, X., Chanson, H. Hybrid modelling of low velocity zones in box culverts to assist upstream fish passage. Environ Fluid Mech. 2020. DOI:https://doi.org/10.1007/s10652-019-09700-1.
36. Есин, А.И. Задачи технической механики жидкости в естественных координатах. - Саратов: Изд-во ФГОУ ВПО «Саратовский ГАУ», 2003. 144 с.
37. Есин, А.И. К вопросу о нестационарном течении воды в открытом канале. Совершен-ствование методов гидравлических расчетов водопропускных труб и очистных соору-жений.2016. 1(42), С. 12-19.
