РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ДВУХМЕРНОГО ВОДНОГО ПОТОКА
Аннотация и ключевые слова
Аннотация (русский):
В статье рассматриваются уравнения двумерного потока воды, которая течет из безнапорных труб прямоугольного или круглого сечения. Для упрощения задачу, реальный трехмерный поток моделируется как двумерная зона с постоянными скоростями и ускорением жидкости в направлении, перпендикулярном зоне потока. Для описания закона движения потока воды используются уравнения Л. Эйлера для идеальной жидкости с учетом уравнений неразрывности и уравнения Бернулли. Модели двумерного потока в зоне распространения с достаточной для практики степенью адекватности описывают движение водных потоков, возникающих в нижних бьефах дорожных дренажных систем, систем орошения, небольших мостов, каналов водоемов, различных водопропускных труб. Полученные зависимости распределения скоростей, глубины и геометрии потока воды дают большую точность, чем использованные ранее методы, как по значениям скорости, так и по геометрии граничных линий тока. Это позволяет рассчитывать параметры гидротехнических сооружений.

Ключевые слова:
гидротехнические сооружения, двумерный бурный поток воды, трубы прямоугольного и круглого сечения, широкий горизонтальный отводящий канал, уравнения Эйлера, расчет скоростей и граничных линий тока
Текст
Текст произведения (PDF): Читать Скачать

Целью настоящей работы является обзор различного вида уравнений движения двухмерного в плане открытого водного потока и решение некоторых практических задач с помощью этих уравнений.

Основные допущения и исходные физические предпосылки двухмерных в плане водных потоков следующие:

а) вертикальные (или нормальные к выбранной координатной плоскости) составляющие местных осреднённых скоростей и ускорений малы;

б) векторы скоростей жидких частиц, расположенных на одной вертикали, лежат в одной плоскости;

в) распределение скоростей на любой вертикали практически равномерное.

Можно выделить достаточно широкий класс потоков, параметры которых отвечают этим допущениям.

Такие потоки называют двухмерными в плане, отражая то, что для их описания достаточно двух геометрических координат x, y.

 В широкой математической и технической литературе известно, что для постановки и решения различных прикладных задач по течению водных потоков необходимо пользоваться уравнениями движения, описывающими процесс течения жидкости, и знать начальные и граничные условия.

Так сложилось исторически, что основоположники теории двухмерных в плане водных потоков исходили из динамических уравнений движения идеального двухмерного открытого водного потока в форме Л. Эйлера (уравнений движения идеальной жидкости), дополненных слагаемыми, учитывающими силы сопротивления жидкости:

где X, Y, Z – компоненты объёмных сил; Tx, Ty, Tz – компоненты сил сопротивления, отнесённых к единице массы жидкости; r – плотность жидкости; p – местное давление; ux, uy, uz – компоненты вектора местной скорости.

Для установившегося потока при вертикальном направлении оси z и действии в жидкости единственной объёмной силы (силы тяжести) система (1) приобретает вид:

В силу посылки о малости вертикальных составляющих скоростей и ускорений все инерционные составляющие, содержащие uz и её производные, могут быть отброшены.

Тогда третье уравнение системы (2) примет вид:

где g – ускорение силы тяжести.

Интегрируя уравнение (3), получим:

где  – произвольная функция.

С учётом того, что на свободной поверхности , приходим к гидростатическому закону распределения давлений на вертикали:

Обозначив через z0 координату дна водотока, получим:

Тогда систему динамических уравнений движения потока можно записать в виде:

Дополнив эту систему уравнений уравнением неразрывности потока:

получим следующую систему течения потока в виде:

В частном случае, когда дно водовода горизонтальное, система (9) приобретает вид:

В ряде потоков, встречающихся в практике (выход потока из отверстия в расширение, вход потока в сужение, течение на виражах, на коротких участках) силами сопротивления потоку можно пренебречь, особенно в бурных высокоскоростных потоках, для которых силы инерции значительно превосходят силы тяжести, и система уравнений (10) приобретает вид:

Система дифференциальных уравнений в частных производных (11) описывает течение двухмерных в плане открытых стационарных потоков в горизонтальном водоводе без учёта сил сопротивления потоку.

Эта система является системой существенно нелинейных уравнений, замкнутой относительно неизвестных функций:

С использованием системы (11) решаются различные задачи по течению двухмерных в плане водных потоков, как прямые, так и обратные.

Если ввести дополнительное условие потенциальности потока:

где W – вихрь для двухмерного потока, то существует потенциальная функция 

Система уравнений (11) в этом случае сводится к виду:

где H0 – постоянная для всего потока, определяемая по параметрам потока V0, h0 в некоторой характерной точке потока.

Первое конечное уравнение в системе (13) имеет название интеграла Д. Бернулли для двухмерных в плане водных потоков.

Система уравнений (13) сводится к одному уравнению второго порядка в частных производных относительно потенциальной функции

Это уравнение по внешнему виду совпадает с уравнением для потенциала скорости плоского безвихревого газа, причём скорости звука соответствует волновая скорость C.

Из уравнения неразрывности потока (8) следует существование функции тока, удовлетворяющей условиям:

Поэтому систему (11) можно свести также к одному дифференциальному уравнению второго порядка в частных производных относительно функции тока 

 

Уравнения (14), (16) служат исходными для разработки методов расчёта двухмерных в плане бурных потоков.

Для бурных потоков эти уравнения относятся к гиперболическому типу и для их исследования может быть использован метод характеристик.

К сожалению, метод расчёта потоков с использованием характеристик является численно-графо-аналитическим и даёт не всегда достаточную адекватность для практического пользования результатами модели.

Гораздо более точные результаты дают аналитические модели, изложенные в монографиях.

Следует заметить, что модель двухмерного в плане потенциального бурного потока, несмотря на значительную степень идеализации, имеет важное теоретическое и практическое значение.

Теоретическое значение заключается в том, что, исследуя простую модель, можно выявить характерные свойства потока и использовать их в более сложных моделях.

Практическое использование результатов модели потенциального течения в горизонтальном русле возможно в случаях, когда роль сил сопротивления относительно невелика (местные сужения, расширения или изгибы русла). В таких потоках основное формирующее влияние на параметры потока оказывает его инерционность и, если протяжённость потока незначительна, влиянием сил сопротивления можно пренебречь.

Аналитические методы решения различных задач по течению двухмерных в плане потенциальных потоков применяются:

а) в случае упрощений для потенциальной модели:

- уравнения движения простой центрированной волны;

- радиальный поток (безнапорный потенциальный источник).

б) при использовании вспомогательной плоскости годографа скорости.

Согласно уравнениям (13), (15) систему движений двухмерных в плане потенциальных водных потоков можно записать в виде:

Переходом в плоскость годографа скорости , в которой независимыми координатами являются  (квадрат скоростного коэффициента) и угол q, характеризующий направление вектора скорости, уравнения (17) трансформируются к виду:

Формулы для определения глубин и скоростей при заданном параметре t имеют вид:

Зависимыми параметрами, неизвестными функциями в системе (18) являются  – потенциальная функция;  – функция тока, при этом для бурных потоков

Формулы (19) следуют из интеграла Бернулли и из выражения для параметра t.

Система уравнений (18) является уже линейной системой дифференциальных уравнений в частных производных в отличие от системы (11). Эта система сводится к решению следующего уравнения математической физики:

Это уравнение рядом замен приводится к гипергеометрическому уравнению с действительными коэффициентами, решения которого известны. Авторы работы на базе аналитических решений системы (18) развили метод, который может использоваться при решении различных задач по течению потенциальных двухмерных в плане открытых стационарных водных потоков.

Сначала решается граничная задача в плоскости годографа скорости.

Далее переход в физическую плоскость течения потока осуществляется использованием дифференциальной связью между планом течения потока и плоскостью годографа скорости:

где  – мнимая единица; x, y – координаты жидкой частицы потока в плане его течения; t, q – независимые координаты в плоскости годографа скорости;  – потенциальная функция;  – функция тока.

В работах авторы разработали детальную технологию решения задач по течению двухмерных в плане потенциальных потоков.

В работах приведены уравнения характеристик в плоскости годографа скорости; этот результат и аналогия внешнего вида уравнений совершенного газа и потенциального двухмерного в плане водного потока позволили авторам работ использовать преобразование С.А. Чаплыгина для получения системы (18) и разделения решения граничной задачи на два этапа:

1-й – решение задачи в плоскости годографа скорости;

2-й – получение алгоритма определения параметров потока в физической плоскости течения (в плане течения) с помощью интегрирования связи (22) при найденных на 1-м этапе функциях

Далее приведём один из методов определения сил сопротивления потоку при использовании системы (9).

Для потоков, в которых нельзя пренебречь силами сопротивления потоку со стороны водовода, учёт сил сопротивления можно по предложению авторов в осуществить сведением поверхностных сил к некоторым эквивалентным объёмным.

Если t – касательное напряжение в основании элементарного цилиндрического объёма, то сила трения по дну равна . Направление вектора этой силы противоположно направлению вектора скорости  Тогда абсолютные величины этой силы, отнесённые к единице массы выделенного объёма, выразятся формулами:

Или, вводя коэффициент гидравлического трения:

компоненты сил сопротивления переписываются в виде:

Как известно из, коэффициент Шези C связан с коэффициентом гидравлического трения соотношением:

причём ; показатель y определяется конкретным законом сопротивления, приводимым в известной литературе по гидравлике; n – коэффициент шероховатости стенок водовода.

Для разрывных течений по параметрам потока пользуются двухмерными уравнениями планового потока (Сен-Венана), записанными в виде:

S – произвольная поверхность в пространстве (x, y, t), ограничивающая некоторый объём R в этом же пространстве; h – глубина потока; u, u – соответственно продольная и поперечная компоненты скорости; zn – отметка свободной поверхности потока; zд – отметка дна; l – коэффициент гидравлического трения; g – ускорение силы тяжести.

Для дифференцируемых функций, применяя к (26) теорему Гаусса – Остроградского, после некоторых преобразований получим уравнения Сен-Венана в дифференциальном виде:

Для стационарных потоков и для  получим:

Эта система совпадает с точностью до обозначений компонент скорости с системой (11).

Приведём метод решения важной для практики задачи определения сопряжённых параметров струи двухмерного в плане бурного потока при её ударе о боковую стенку (рис. 1) на базе использования уравнений движения в интегральной форме.

Пусть в точке M до удара крайней линии потока о боковую стенку русла он имеет параметры V1, h1, q1.

Необходимо определить параметры потока в точке M после удара V2, h2 и угол d отклонения линии схода от боковой стенки русла.

Для определения величин V2, h2, d воспользуемся уравнением стационарного движения потока в интегральной форме без учёта сил сопротивления потоку:

Составляя алгоритмическую форму уравнения применительно к четырёхточечному шаблону 1M23 (см. рис. 1), две точки которого находятся на линии схода, и разрешая её относительно параметров потока в точке M, получим алгебраическую систему:

Так как до удара крайней линии тока о боковую стенку системе (30) должны удовлетворять параметры V1, h1, q1, то

За прыжком в точке M угол  и, следовательно, из системы (30) следует:

В системе (32) три неизвестных параметра V2, h2, K и для её совместности должно выполняться условие:

Определив из уравнения (33) неизвестное K, определим далее и сопряжённые параметры потока V2, h2, d за прыжком:

Ранее в литературе по гидравлическим расчётам для решения задачи определения параметров V2, h2, d необходимо было пользоваться громоздкими номограммами, имеющими ограничения , что сильно затрудняло получение достоверного результата.

 

Выводы. Исследователи в области моделирования течений двухмерных в плане открытых водных потоков могут воспользоваться уравнениями движения потока в зависимости от решаемой задачи в любой форме, изложенной в настоящей работе, и получить результаты моделирования с точностью, превышающей известную по ранее используемым методам. Особенно удобен метод расчёта потенциальных потоков с использованием плоскости годографа скорости.

 

Список литературы

1. Емцев Б.Т. Двухмерные бурные потоки. – М.: Энергия, 1967. – 212 с.

2. Высоцкий Л.И. Управление бурными потоками на водосбросах. – М.: Энергия, 1990. – 280 с.

3. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. – М.: Наука, 1970. – 720 с.

4. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. – М.: Наука, 1984. – 384 с.

5. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1986. – 106 с.

6. Есин А.И. Развитие теории и методов расчёта стационарных и нестационарных движений воды: Автореф. дисс. на соиск. уч. степ. д-ра техн. наук: 05.23.16. – М., 2004. – 48 с.

7. Есин А.И. Задачи технической механики жидкости в естественных координатах / ФГОУ ВПО «Саратовский ГАУ». – Саратов, 2003. – 144 с.

8. Чаплыгин С.А. Избранные труды / Механика жидкости и газа. Математика. Общая механика. – М.: Наука, 1976. – 496 с.

9. Коханенко В.Н., Волосухин Я.В. и др. Моделирование одномерных и двухмерных открытых водных потоков / НГМА; В.Н. Коханенко, Я.В. Волосухин, В.В. Ширяев, Н.В. Коханенко; под общ. ред. д-ра техн. наук, проф. В.Н. Коханенко. – Ростов н/Д: Изд-во ЮФУ, 2007. – 168 с.

10. Коханенко В.Н., Волосухин Я.В. и др. Моделирование бурных двухмерных в плане водных потоков: монография / В.Н. Коханенко, Я.В. Волосухин, М.А. Лемешко, Н.Г. Папченко; под общ. ред. д-ра техн. наук, проф. В.Н. Коханенко. – Ростов н/Д: Изд-во ЮФУ, 2013. – 180 с.

11. Ширяев В.В., Мицик М.Ф. и др. Развитие теории двухмерных открытых водных потоков: монография / В.В. Ширяев, М.Ф. Мицик, Е.В. Дуванская; под общ. ред. В.В. Ширяева. – Шахты: Изд-во ЮРГУЭС, 2007. – 133 с.

12. Штеренлихт Д.В. Гидравлика. / Изд. 3-е, перераб. – М.: Колос, 2005. – 656 с.

13. Справочник по гидравлике / Под ред. В.А. Большакова. Изд. 2-е, перераб. и доп. – К.: Вища школа, 1984. – 343 с.

14. Милитеев А.Н., Тогунова Н.П. Метод расчёта сопряжения бьефов в пространственных условиях / Гидравлика сооружений оросительных систем: тр. НИМИ. – Новочеркасск, 1976. – Т. 18. – Вып. 5. – С. 180-194.

15. Weiming Wu, M.ASCE Depth-Averaged Two-Dimensional Numerical Modeling of Unsteady Flow and Nonuniform Sediment Transport in Open Channels // Journal of Hydraulic Engineering Vol. 130, Issue 10 (October 2004) doi: 10.1061/(ASCE)0733-9429(2004)130:10(1013)