Люберцы, Россия
Приведен вывод формулы для прогиба статически определимой плоской фермы под действием нагрузки, равномерно распределенной по нижнему поясу. Усилия в стержнях находятся в аналитической форме в системе компьютерной математики Maple. Используется формула Максвелла – Мора и метод индукции. Обнаружено, что для чисел панелей кратных семи определитель системы уравнений равновесия обращается в ноль.
Ферма, прогиб, кинематическое вырождение, формула Максвелла- Мора, Maple
На рис. 1 и 2 приведены два варианта одной и той же схемы решетчатой симметричной фермы при разных числах панелей n = 2k. Схемы почти неотличимы, однако в первом случае это статически определимая неизменяемая ферма, во втором — мгновенно изменяемая конструкция. Выяснить это в общем случае коварное свойство конструкции удалось при выводе формулы прогиба фермы методом индукции [6]. Оказалось, что если число панелей k в половине пролета кратно 7, то определитель матрицы уравнений равновесия узлов обращается в ноль. Аналогичный эффект был обнаружен в плоских фермах [2; 3] и в пространственной ферме [5].
Рис. 1. Ферма при n = 12
Рис. 2. Ферма при n = 14
Приведем весь алгоритм вывода прогиба фермы. За прогиб примем вертикальное смещение среднего узла нижнего пояса. Рассмотрим случай действия равномерной по нижнему поясу нагрузки. Ферма содержит 2n + 7 узлов, m = 4n + 14 стержней. В это число входят n стержней нижнего пояса, 6 боковых стоек, n + 1 стержней верхнего пояса, 2n + 4 раскосов и 3 опорных стержня. Усилия в стержнях рассчитываются методом вырезания узлов по программе [4]. Для ввода данных фермы в программу необходимо ввести координаты узлов. Начало координат расположено в левой подвижной опоре. В системе Maple ввод выглядит следующим образом:
Структура решетки задана по аналогии с заданием плоского графа. В специальных векторах, соответствующих стержням, содержатся номера концов стержней. Пояса фермы, например, заданы следующим образом:
где обозначено j = pj/3, j = 1, 2, .... . Таким образом, меняя j, в программу вводится последовательность панелей, исключая числа, кратные 7. Расчет показал, что выражение для прогиба имеет один и тот же вид для любого j:
EFD = P(Aja3 + Cjc3 + Hjh3) / (8h2), (1)
где 
— длины раскосов. Расчет 25 ферм дает следующую последовательность коэффициентов при a3: 3, 52, 11, 16, –37, 52, 288, 595, 660, 955, 1168, 1835, 3427, 4672, 5603, 7028, 8427, 10 672, 15 860, 19 283, 22 400, 26 355, 30 420, 35 803, 47 947, 55 348, 62 531, 70 976, 79 747, 90 388, 113 968, 127 707, 141 396, 156 851, 172 928, 191 507, 232 123, 255 120, 278 315, 303860, 330 403, 360 160, 424 532, 460 267, 496 528, 535 803, 576 532, 621 267, 717 235, 769 748. Коэффициенты из решения del выделяются автоматически в цикле по числу панелей (верхняя граница была выбрана равной 58) оператором coeff(del,a^3). В системе Maple есть оператор rgf_findrecur (пакет genfunc), который по этим данным дает рекуррентное уравнение, которому удовлетворяют члены последовательности.
Aj = Aj–1 + 4Aj–6 – 4Aj–7 – 6Aj–12 + 6Aj–13 + 4Aj–18 – 4Aj–19 – Aj–24 + Aj–25.
Уравнение оказалось 25-го порядка, что значительно больше аналогичных решений для плоских ферм [8–14]. Оператор rsolve системы Maple дает искомое выражение для общего члена последовательности:
Аналогично для коэффициента при c3 имеем последовательность 7, 28, 7, 0, –49, –28, 56, 119, 28, 7, –112, –49, 119, 224, 63, 28, –161, –56, 196, 343, 112, 63, –196, –49, 287, 476, 175, 112 и рекуррентное уравнение 13-го порядка:
Cj = Cj–1 + 2Cj–6 – 2Cj–7 – Cj–12 + Cj+13.
Имеем решение:
Для коэффициента при h3 получаем числа: 64, 448, 128, 128, 64, 64, 192, 960, 384, 384, 576, 192, 320, 1472, 640, 640, 1088, 320, 448, 1984, 896, 896, 1600, 448. Соответствующее уравнение имеет вид:
Hj = Hj–1 – Hj–2 + Hj–3 – Hj–4 + Hj–5 + Hj–6 – Hj–7 + Hj–8 – Hj–9 + Hj–10 – Hj–11.
Находим решение:
На рис. 3 приведены результаты расчета по формуле (1). Кривые полученной зависимости построены при фиксированной длине пролета L = an = 50 м и заданной общей нагрузке P0 = P(n – 1). Введено обозначение для безразмерного прогиба 
.
Рис. 3. Зависимость прогиба от числа панелей, L = 50 м
Кривые имеют резкие скачки и локальные минимумы. Отрицательные значения не противоречат физическому смыслу. Как показывает счет, в соседних узлах прогиб положительный.
Рис. 4. Зависимость прогиба фермы от высоты, L = 50 м
Зависимость прогиба от высоты (рис. 4) показывает наличие явно выраженного минимума. Таким образом, полученное решение позволяет оптимизировать конструкцию. Отметим, что для большей точности качественного вывода требуется не одна контрольная точка для прогиба. Судя по скачкам кривых на рис. 3, прогиб лучше оценивать как среднее значение перемещений в нескольких соседних узлах в середине пролета.
Аналитические обзоры решений для прогиба плоских статически определимых ферм методом индукции по программе [4] приведены в [1; 7].
1. Кирсанов М.Н., Маслов А.Н. Формулы для расчета прогиба балочной многорешетчатой фермы//Строительная механика и расчет сооружений. 2017. 2(271). С. 4-10.
2. Кирсанов М.Н. Аналитический расчет балочной фермы со сложной решеткой// Строительная механика и расчет сооружений. 2015. № 3. С. 7-11.
3. Кирсанов М.Н. Анализ прогиба решетчатой балочной фермы распорного типа// Инженерно-строительный журнал. 2015. №5(57). С. 58-65. doi:https://doi.org/10.5862/MCE.57.
4. Кирсанов М.Н. Расчет пространственной стержневой системы, допускающей мгновенную изменяемость//Строительная механика и расчет сооружений. 2012. № 3. С. 48-51.
5. Кирсанов М.Н. Задачи по теоретической механике с решениями в Maple 11 -М.: Физматлит, 2010. -264 с.
6. Salimov M. S. The formula for deflection of a composite truss, loaded on the bottom flange//Научн альманах. 2017. N 2-3(28). С. 272-274. DOI:https://doi.org/10.17117/na.2017.02.03.272
7. Smirnova A. A., Rakhmatulina A.R. Analytical calculation of the displacement of the truss support//Научн альманах. 2017. N 2-3(28). С. 275-278. DOI:https://doi.org/10.17117/na.2017.02.03.275
8. Rakhmatulina A.R., Smirnova A.A. The dependence of the deflection of the arched truss loaded on the upper belt, on the number of panels//Научный альманах. 2017. N 2-3(28). С. 268-271. DOI:https://doi.org/10.17117/na.2017.02.03.268
9. Voropai R.A., Kazmiruk I.Yu. Analytical study of the horizontal stiffness of the flat statically determinate arch truss//Вестник научных конференций. 2016. № 2-1(6). Pp. 10-12.
10. Voropai R. A. Analysis of the deflection of the regular truss with cross type lattice. Научный альманах. 2016. N 4-3(18). С.238-240. DOI:https://doi.org/10.17117/na.2016.04.03.238
11. Ponamareva M.A. The displacement of the support trusses with parallel belts under uniform load //Научный альманах. 2016. N 4-3(18). С.257-259.
12. Bolotina T. D.The deflection of the flat arch truss with a triangular lattice depending on the number of panels//Вестник научных конференций. 2016. № 4-3(8). P.7-8
13. Тиньков Д.В. Сравнительный анализ аналитических решений задачи о прогибе ферменных конструкций // Инженерно-строительный журнал. 2015. №5(57). С. 66-73.
14. Кийко Л.К. Аналитическая оценка прогиба арочной фермы под действием ветровой нагрузки // Научный вестник. 2016. № 1 (7). С. 247-254.
