SECOND ORDER CURVES ON COMPUTER SCREEN
Abstract and keywords
Abstract (English):
Modern computer graphics is based on methods of computational geometry. The curves and surfaces’ description is based on apparatus of spline functions, which became the main tool for geometric modeling. Methods of projective geometry are almost not applying. One of the reasons for this is impossibility to exactly construct a second-order curve passing through given points and tangent to given straight lines. To eliminate this defect a computer program for second order curves construction has been developed. The program performs the construction of second-order curve’s metric (center, vertices, asymptotes, foci) for following combinations: The second-order curve is given by five points; The second-order curve is given by five tangent lines; The second-order curve is given by a point and two tangent lines with points of contact indicated on them; The parabola is given by four tangent lines; The parabola is given by four points. In this paper are presented algorithms for construction a metric for each combination. After construction the metric the computer program written in AutoLISP language and using geometrically exact projective algorithms which don’t require algebraic computations draws a second-order curve. For example, to construct vertices and foci of two parabolas passing through four given points, it is only necessary to draw an arbitrary circle and several straight lines. To construct a conic metric passing through five given points, it is necessary to perform only three geometrically exact operations: to construct an involution of conjugate diameters, to find the main axes and asymptotes; to note the vertices of desired second-order curve. Has been considered the architectural appearance of a new airport in Simferopol. It has been demonstrated that a terminal facade’s wavelike form can be obtained with a curve line consisting of conic sections’ areas with common tangent lines at junction points. The developed computer program allows draw second-order curves. The program application will promote the development of computer graphics’ tools and techniques.

Keywords:
projective algorithm, geometrically exact construction, involution of conjugate diameters, airport of Simferopol.
Text

Введение. Развитие графических САПР, базирующихся на методах вычислительной геометрии [9; 23; 24], зачастую приводит к полному или частичному исключению классических методов начертательной и проективной геометрии из арсенала конструктора-проектировщика. Одним из препятствий к совмещению проективных и компьютерных методов геометрического моделирования в графически ориентированных САПР является невозможность точного построения кривой второго порядка, заданной произвольным наперед указанным набором пяти линейных инциденций (точек и касательных). В прикладной геометрии кривые второго порядка играют двоякую роль. С одной стороны, они используются наряду с другими кривыми линиями как формообразующий элемент при конструировании гладких обводов и поверхностей [16; 21]. С другой стороны, кривые второго порядка — это эталонный чертежный инструмент (такой же, как прямая линия и окружность), применяемый для решения геометрических задач [3–5; 19]. Эталон должен обладать наивысшими метрологическими свойствами, поэтому кривую второго порядка следует вычерчивать с максимально возможной точностью. Вплоть до 80-х гг. ХХ в. разрабатывались и патентовались механические устройства для вычерчивания разнообразных алгебраических кривых, в том числе конических сечений [1; 2; 20; 22]. С появлением средств компьютерной графики ситуация изменилась. На смену механическим чертежным приборам пришел электронный кульман и CAD-CAM-CAE-технологии сквозного проектирования. Развитие вычислительной геометрии и компьютерной графики привело к смене парадигмы в вопросах геометрического моделирования. В основу описания кривых линий и поверхностей в 60-х гг. прошлого века был заложен аппарат сплайн-функций [9; 23; 24], которые стали основным инструментом геометрического моделирования. Но при этом так и не появился полноценный электронный аналог механических коникографов. Программное обеспечение графических САПР не предоставляет пользователю возможности построения конического сечения, инцидентного произвольному наперед заданному набору точек и касательных. Для устранения указанного недостатка разработан программный модуль «Компьютерный коникограф», выполняющий геометрически точное построение метрики (центра, вершин, фокусов, асимптот) кривой второго порядка и последующее вычерчивание непрерывной КВП для следующих специализаций:
• КВП (эллипс или гипербола) задана пятью точками;
• КВП (эллипс или гипербола) задана пятью касательными;

• КВП (эллипс или гипербола) задана точкой и двумя касательными с указанными на них точками касания;
• парабола задана четырьмя касательными;
• парабола задана четырьмя точками.

References

1. Artobolevskii I.I. Mehanizmy v sovremennoj technike [Mechanisms in modern engineering]. Kulisno-rychazhnye i krivoshipno-polzunnye mekhanizmy [Rocking-link and crank-slider mechanisms]. Moscow, Nauka Publ., 1979, V. 2, 559 p. (in Russian)

2. Sal′kov N.A., Sal′kov A.V. A.s. 1361024 SSSR, MKI4 V 43 L 11/00. Pribor Sal′kova dlja vosproizvedenija krivyh vtorogo porjadka [Device of Salkov for playback of the second order curves]. I. 47, 4 p. (in Russian)

3. Boykov A.A. Geometricheskoe modelirovanie v sisteme distantsionnogo obucheniya [Geometric modeling in system of distance learning]. Geometriya i grafika [Geometry and graphics]. 2014, V. 2, I. 4, pp. 34–42. DOI: 10.12737/8295. (in Russian)

4. Kaygorodtseva N.A, Panchuk K.L, Volkov V.Y., Yurkov V.Y. Elementy matematizatsii teoreticheskikh osnov nachertatel'noy geometrii [Matematization Elements of Theoretical Fundamentals of Descriptive Geometry]. Geometriya i grafika [Geometry and graphics]. 2015, V. 3, I. 1, pp. 3–15. DOI: 10.12737/10453. (in Russian)

5. Voloshinov D.V. Konstruktivnoe geometricheskoe modelirovanie. Teoriya, praktika, avtomatizatsiya [Constructive Geometric Modeling. Theory, Practice, Automation]. Saarbrücken, Lambert Academic Publ., 2010. 355 p. (in Russian)

6. Vol'berg O.A. Osnovnye idei proektivnoy geometrii [The Basic Ideas of Projective Geometry]. Moscow-Leningrad, Gosudarstvennoe uchebno-pedagogicheskoe izdatel'stvo Publ., 1949, 188 p. (in Russian)

7. Geronimus Ya.L. Geometricheskiy apparat teorii sinteza ploskikh mekhanizmov [Geometric Theory of Synthesis of Planar Mechanisms]. Moscow, Publishing House of Physical and Mathematical Literature, 1962. 399 p. (in Russian)

8. Glagolev N.A. Proektivnaya geometriya [Projective Geometry]. Moscow, Vysshaya Shkola Publ., 1963, 344 p. (in Russian)

9. Golovanov N.N. Geometricheskoe modelirovanie [Geometrical Modeling]. Moscow, Publishing House of Physical and Mathematical Literature, 2012, 472 p. (in Russian)

10. Ivanov G.S. Konstruirovanie tekhnicheskikh poverkhnostey [Design of Technical Surfaces]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1987, 192 p. (in Russian)

11. Klejn F. Vysshaya geometriya [Higher Geometry]. Moscow, URSS Publ., 2004. 400 p. (in Russian)

12. Klejn F. Elementarnaya matematika s tochki zreniya vysshej [Elementary Mathematics from the Point of View of Higher]. Geometriya [Geometry]. Moscow, Nauka Publ., 1987. 416 p. (in Russian)

13. Kokster H.S.M. Dejstvitel'naja proektivnaja ploskost' [Valid Projective Plane]. Moscow, Publishing House of Physical and Mathematical Literature, 1959. 280 p. (in Russian)

14. Korotkiy V.A. Sinteticheskie algoritmy postroeniya krivoy vtorogo poryadka [Synthetic Algorithms for Constructing a Curve of the Second Order]. Vestnik komp'yuternykh i informatsionnykh tekhnologiy [Journal of computer and information technology]. 2014, I. 11, pp. 20–24. DOI: 10.14489/issn.1810-7206. (in Russian)

15. Korotkiy V.A. Proektivnoe postroenie koniki [Projective Construction of Conic Bundles]. Chelyabinsk, South Ural St. Univ. Publ., 2010. 94 p. (in Russian)

16. Korotkiy V.A., Usmanova E.A. Krivye vtorogo poryadka v zadachakh formoobrazovaniya arkhitekturnykh obolochek [Curves of the Second Order in the Tasks of Shaping Architectural Membranes]. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Stroitel'stvo [Proceedings of the Higher Educational Institutions. Building]. Moscow, 2014, I. 9–10, pp. 101–107. (in Russian)

17. Korotkiy V.A., L.I. Hmarova. Universal Computer Conimgraph [Universal computer program for tracing conic sections]. Trudy 26-j Mezhdunarodnoj nauchnoj konferencii GraphiCon 2016 [Proceedings of the 26th International Scientific Conference GraphiCon 2016]. Nizhnij Novgorod, NNGASU Publ., pp. 347–351. (in Russian)

18. Korotkiy V.A. Programma dlya EHVM «Postroenie krivoy vtorogo poryadka, prokhodyashchey cherez dannye tochki i kasayushchikhsya dannykh pryamykhi» [The Construction of the Curve of the Second Order Passing Through the Data Points and Data Concerning Direct]. Svid. o gosudarstvennoy registratsii programmy dlya EVM, no. 2011611961, 04.03.2011 [Certificate of state registration No. 2011611961 dated 04.03.2011]. (in Russian)

19. Sal′kov N.A. Nachertatel'naya geometriya — baza dlya geometrii analiticheskoy [Descriptive Geometry As the Basis for Analytical Geometry]. Geometriya i grafika [Geometry and graphics]. 2016, V. 4, I. 1, pp. 44–54. DOI: 10.12737/18057. (in Russian)

20. Sal′kov N. A. Prilozhenie svoystv tsiklidy Dyupena k izobreteniyam [Application of Dupin Cyclidés Properties to Inventions]. Geometriya i grafika [Geometry and graphics]. 2017, V. 5, I. 4, pp. 37–43. DOI: 10.12737/article_5a17fd233418b2.84489740. (in Russian)

21. Sal′kov N.A. Geometricheskoe modelirovanie i nachertatel'naya geometriya [Geometric modeling and descriptive geometry]. Geometriya i grafika [Geometry and graphics]. 2016, V. 4, I. 2, pp. 31–40. DOI: 10.12737/22841. (in Russian)

22. Seregin V.I., Ivanov G.S., Dmitrieva I.M., Muravev K.A. Mezhdistsiplinarnye svyazi nachertatel'noy geometrii i smezhnykh razdelov vysshey matematiki [Interdisciplinary relations of descriptive geometry and related sections of higher mathematics]. Geometriya i grafika [Geometry and graphics]. 2013, V. 1, I. 3–4, pp. 8–12. DOI: 10.12737/2124. (in Russian)

23. Foks A., Pratt M. Vychislitel'naja geometrija. Primenenie v proektirovanii i na proizvodstve [Computing Geometry. Application in Design and on Production]. Moscow, Mir Publ., 1982. 304 p. (in Russian)

24. Pliss L.I., Shikin E.V. Krivye i poverkhnosti na ekrane komp'yutera [Curves and Surfaces for Computer Screen]. Moscow, Dialog-MIFI Publ., 1996. 240 p. (in Russian)

25. Entsiklopediya elementarnoy matematiki [Encyclopedia of Elementary Mathematics]. Moscow, 1963, V. 4, 567 p. (in Russian)

Login or Create
* Forgot password?