30943nam#a2201717#i#450000100040000000500170000400800400002102000230006104100090008404400090009308000300010208400390013208400890017108400630026008400600032308400710038310000700045410000490052424500710057326000810064430000120072550036510073751002560438851002140464451002460485851004280510451003200553251001690585251001500602151001950617151002290636651002510659551001050684651003300695151004120728151002570769351002820795051002590823251003180849151003550880951003390916451004450950351003500994851003261029851001891062451002921081351002611110551002681136651002821163451002701191651002481218651002261243451003311266051002621299151002331325351002041348651002531369051003071394351003161425051001231456651003341468951002731502351002001529651002481549651004091574451003291615351004991648251003751698151000941735651002491745051001411769951003171784051002841815751002561844151002281869751001501892551001011907551001731917651002121934951001441956151001311970551001761983651001062001251003152011851002112043351001832064451001352082751001572096251002402111951001922135951002902155151001122184151001072195351001212206051001172218151001712229851001122246951001132258151001222269451001872281651001392300351001562314251001152329851000972341351001112351051003252362151001182394651001242406451001682418851001692435651001242452551000832464951000982473251001942483051001492502451001372517351000902531051001082540051002092550851001982571751000982591551001062601351002252611951001452634451001842648951001472667351001962682051001282701651001172714451001112726151000752737251001312744751000932757851001492767151001342782051002932795451000842824751001382833151000922846951000932856151001482865451001372880251002362893953300332917585600172920872020240425012155.4  20171115d2017####ek#y0rusy0150####ca##$a978-5-369-01645-90#$aRUS##$axxu##$aМатематика. 51##$aКибернетика. 32812bbk##$aПрикладная математика и информатика. 01.04.022okso##$aПрикладная математика. 01.04.042okso##$aКибернетика. Теория игр. 60212tbk##$aМатематическая кибернетика. 27.472grnti#1$aЖилякова, Людмила Юрьевна$aИПУ  РАН#1$aКузнецов, Олег Петрович00$aТеория ресурсных сетей$cМонография1#$aМосква$bООО "Издательский Центр РИОР"$c2017##$a283 p.##$aИзлагается новая модель распространения однородных ресурсов – ресурсная сеть – и исследуются ее динамические свойства. Ресурсная сеть – это ориентированный граф, ребра которого имеют положительные пропускные способности. Каждая вершина может хранить неограниченное количество ресурса. Сеть функционирует в дискретном времени. Суммарное количество ресурса во время функционирования сети не меняется. В момент t каждая вершина отдает ресурс смежным вершинам по одному из двух правил: если ресурса в вершине не меньше, чем сумма пропускных способностей всех ее исходящих ребер, вершина отдает «все, что может», т.е. пропускные способности ее выходящих ребер используются полностью; в противном случае вершина отдает весь свой ресурс, распределяя его пропорционально пропускным способностям. 
Для каждой сети существует порог Т суммарного ресурса: поведение сети при «малом» (меньшем Т) и «большом» ресурсе оказывается существенно различным. Если в сети имеются источники (вершины, у которых суммарная входная пропускная способность меньше выходной) и приемники (у которых суммарная входная пропускная способность больше выходной), то при большом ресурсе весь ресурс, превосходящий Т, в конечном счете достается некоторым приемникам (аттракторам).
Предлагается матричная классификация ресурсных сетей по двум основаниям: по структуре графа сети, и по пропускным способностям. Общая схема исследования для всех классов ресурсных сетей одинакова: доказывается существование (или отсутствие) предельного состояния и предельного потока, решаются задачи их вычисления при различных начальных состояниях и значениях суммарного ресурса, демонстрируется различие в поведении при малом и большом ресурсе. Однако методы решения этих задач и конкретные результаты для разных классов сетей существенно различны.$aресурсная сеть, графовая динамическая модель, сетевая модель, пороговая модель, марковские процессы, предельное состояние, устойчивость, поток, рассеяние на графах.$a10.12737/214510#$aАгаев Р.П., Чeботарев П.Ю. Матрица максимальных исходя-щих лесов орграфа и ее применения // Автоматика и телемеха-ника. – 2000. – № 9. – С. 15–43.0#$aАгаев Р.П., Чeботарев П.Ю. Остовные леса орграфа и их при-менение // Автоматика и телемеханика. –  2001. – № 3. – С. 108–133.0#$aАгаев Р.П., Чeботарев П.Ю. О нахождении собственного про-ектора и компонент матрицы // Автоматика и телемеханика. – 2002. – № 10. – С. 3–12.0#$aАгаев Р.П., Чеботарев П.Ю. Сходимость и устойчивость в за-дачах согласования характеристик (обзор базовых результатов) / Управление большими системами. Специальный выпуск 30.1 «Сетевые модели в управлении». – М.: ИПУ РАН, 2010. – С. 470–505.0#$aАгаев Р.П., Чeботарев П.Ю. Метод проекции в задаче о кон-сенсусе и регуляризованный предел степеней стохастической матрицы // Автоматика и телемеханика. – 2011. – № 12. – С. 38–59.0#$aАдельсон-Вельский Г.М., Диниц Е.А., Карзанов А.В. Потоко-вые алгоритмы. – М.: Наука, 1975. – 119 с.0#$aБарон С.А., Введение в теорию суммируемости рядов. – 2-е изд.. – Таллин, 1977. – 280 с.0#$aБурман Ю.М. Многочлен Татта и модель случайных кластеров, Матем. просв., сер. 3, 11, –  М.: МЦНМО, 2007. – С. 47–60.0#$aБасангова Е.О., Ерусалимский Я.М. Смешанная достижимость на частично ориентированных графах // Деп. в ВИНИТИ. – 1982. – № 5892-82.0#$aБасангова Е.О., Ерусалимский Я.М. Различные виды смешан-ной достижимости // Алгебра и дискретная математика. Эли-ста, КГУ. – 1985. – С. 70–75.0#$aГантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: Физматлит, 2004. – 560 с.0#$aГубанов Д.А., Новиков Д.А., Чхартишвили А.Г. Социальные сети. Модели информационного влияния, управления и проти-воборства. – М.: Изд-во физико-математической литературы, 2010. – 228 с.0#$aГубанов Д.А., Новиков Д.А. Модели унифицированного ин-формационного управления в однородных социальных сетях / Управление большими системами. Специальный выпуск 30.1 «Сетевые модели в управлении». – М.: ИПУ РАН, 2010. – С. 722–742.0#$aЕрзин А.И., Тахонов И.И. Задача поиска сбалансированного потока // Сибирский журнал индустриальной математики. – 2006. – Т. IX, № 4 (28). – С. 50–63.0#$aЕрзин А.И., Тахонов И.И. Равновесное распределение ресурсов в сетевой модели // Сибирский журнал индустриальной математики. – 2005. – Т. VIII, № 3(23). – С. 58–68.0#$aЕрусалимский Я.М. Потоки в сетях с нестандартной достижи-мостью // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Ест. нау-ки. – 2012. – № 1. – С. 5–7.0#$aЕрусалимский Я.М. Общий метод решения задач о достижимо-сти на ориентированных графах // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. – 2000. – № 3. – С. 62–63.0#$aЕрусалимский Я.М., Петросян А.Г. Многопродуктовые потоки в сетях с нестандартной достижимостью // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. Приложение. – 2005. – № 6. – С. 8–16.0#$aЕрусалимский Я.М., Петросян А.Г. Случайные процессы в сетях с биполярной магнитностью // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. Приложение. – 2005. – № 11. – С. 10–16.0#$aЕрусалимский Я.М., Скороходов В.А. Общий подход к нестан-дартной достижимости на графах.// Известия вузов. Сев.-Кавк. Регион. Естест. Науки. 2005, Спецвыпуск. Псевдодифференциальные уравнения и некоторые проблемы математической физики. — С. 64–67.0#$aЕрусалимский Я.М., Скороходов В.А. Графы с вентильной достижимостью. Марковские процессы и потоки в сетях // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. – 2003. – № 2. – С. 3–5.0#$aЕрусалимский Я.М., Скороходов В.А., Кузьминова М.В., Пет-росян А.Г. Графы с нестандартной достижимостью: задачи, приложения. – Ростов н/Д.: Южный федеральный университет, 2009. – 195 c.0#$aЕрусалимский Я.М., Водолазов Н.Н. Нестационарный поток в сети // Вест. ДГТУ. – 2009. – Т. 9. – № 3. – C. 402–409.0#$aЕрусалимский Я.М., Водолазов Н.Н. Максимальный всплеск в сети и максимальный объём сети // Изв. ВУЗов. Северо-Кавказ. регион. Естеств. науки. – 2010. – № 6. – C. 9–13.0#$aЖилякова Л.Ю. Несимметричные ресурсные сети. I. Процессы стабилизации при малых ресурсах // Автоматика и телемеха-ника. – 2011. – № 4. – С. 133–143.0#$aЖилякова Л.Ю. Применение ресурсных сетей для моделирова-ния распространения веществ в водной среде // Проблемы управления. – 2011. – № 2. – С. 46–51.0#$aЖилякова Л.Ю. Полные несимметричные ресурсные сети. Случай одного приемника // Изв. ВУЗов. Северо-Кавказ. реги-он. Естеств. науки. – 2011. – № 4 (164). – С. 14–18.0#$aЖилякова Л.Ю. Несимметричные ресурсные сети. II. Потоки при больших ресурсах и их стабилизация // Автоматика и те-лемеханика. – 2012. – № 6. – С. 103–118.0#$aЖилякова Л.Ю. Несимметричные ресурсные сети. III. Исследование предельных состояний // Автоматика и телемеханика. – 2012. – № 7. – С. 67–77.0#$aЖилякова Л.Ю. Исследование эйлеровых ресурсных сетей / Управление большими системами. – Вып. 41. – М.: ИПУ РАН, 2013. – С. 28–50.0#$aЖилякова Л.Ю. Эргодические циклические ресурсные сети. I. Колебания и равновесные состояния при малых ресурсах / Управление большими системами. – Вып. 43. – М.: ИПУ РАН, 2013. – С. 34–54.0#$aЖилякова Л.Ю. Эргодические циклические ресурсные сети. II. Большие ресурсы / Управление большими системами. – Вып. 45. – М.: ИПУ РАН, 2013. – С. 6–29.0#$aЖилякова Л.Ю. Управление предельными состояниями в по-глощающих ресурсных сетях // Проблемы управления. – 2013. – № 3. – С. 51–59.0#$aЖилякова Л.Ю. Графовые динамические модели и их свойства // Автоматика и телемеханика. – 2015. – № 8. – С. 115 – 139.0#$aЖилякова Л.Ю. Ресурсная сеть с ограничением на ёмкость ат-тракторов // Управление большими системами. – Вып. 58. – М.: ИПУ РАН, 2015. – С. 67–89.0#$aЖилякова Л.Ю. Ресурсные сети с ограничениями на ёмкость аттракторов. Формальные характеристики // Управление боль-шими системами. – Вып. 59. – М.: ИПУ РАН, 2016. – С. 72–119.0#$aЖилякова Л.Ю. Распределение  ресурса между аттракторами в регулярных несимметричных ресурсных сетях // Управление большими системами. – Вып. 60. – М.: ИПУ РАН, 2016. – С. 82–118.0#$aКемени Дж., Снелл Дж. Конечные цепи Маркова. – М.: Наука, 1970. – 272 с.0#$aКочкаров А.А., Салпагаров М.Б., Кочкаров Р.А. Моделирова-ние разрушения сложных систем с ациклической структурой / Управление большими системами. – Вып. 17. – М.: ИПУ РАН, 2007. – С. 103–120.0#$aКочкаров А.А., Салпагаров М.Б., Эльканова Л.М. Дискретная модель структурного разрушения сложных систем // Проблемы управления. – 2007. – № 5. – С. 21–26.0#$aКузнецов О.П. Однородные ресурсные сети. I. Полные графы // Автоматика и телемеханика. – 2009. – № 11. – С. 136–147.0#$aКузнецов О.П., Жилякова Л.Ю. Двусторонние ресурсные сети – новая потоковая модель // Доклады Академии Наук. – 2010. – Т. 433, № 5. – С. 609–612.0#$aКузнецов О.П., Жилякова Л.Ю. Полные двусторонние ресурс-ные сети с произвольными пропускными способностями // Управление большими системами. Специальный выпуск 30.1 «Сетевые модели в управлении». – М.: ИПУ РАН, 2010. – С. 640–664.0#$aКузьминова М.В. Ограниченные магнитные достижимости на ориентированных графах // Известия ВУЗов. Северо-Кавказ-ский регион. Естественные науки. Приложение. – 2006. – № 6. – С. 12–26.0#$aКуссуль Н., Соколов А. Адаптивное обнаружение аномалий в поведении пользователей компьютерных систем с помощью марковских цепей переменного порядка. Ч. 2: Методы обнару-жения аномалий и результаты экспериментов // Проблемы управления и информатики. – 2003. – № 4. – С. 83–88.0#$aЛазарев А.А., Гафаров Е.Р. Теория расписаний. Исследование задач с отношениями предшествования и ресурсными ограни-чениями: научное издание / М.: Вычислитель¬ный центр им. А.А. Дородницына РАН. – 2007. – 80 с.0#$aЛанкастер П. Теория матриц. – М.: Наука, 1982. – 272 с.0#$aЛовас Л., Пламмер М. Прикладные задачи теории графов. Тео-рия паросочетаний в математике, физике, химии: Пер. с англ. – М.: Мир, 1998. – 653 с.0#$aНовиков Д.А. Сетевые структуры и организационные системы. – М.: ИПУ РАН, 2003.0#$aПетросян А.Г. Потоковая задача в многопродуктовых сетях с нестандартной достижимостью // Современные проблемы ма-тематического моделирования. – Ростов н/Д., 2005. – C. 334–340.0#$aПетросян А.Г. Потоки в сетях с биполярной достижимостью // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. Приложение. – 2006. – № 3. – С. 32–37.0#$aРобертс Ф.С. Дискретные математические модели с приложе-ниями к социальным, биологическим и экологическим задачам. – М.: Наука, 1986. – 496 с.0#$aРомановский В.И. Дискретные цепи Маркова. – М.; Л.: Госу-дарственное издательство научно-технической литературы, 1949. – 436 с.0#$aСвами М., Тхуласираман К. Графы, сети и алгоритмы: Пер. с англ. – М.: Мир, 1984, – 454 с.0#$aСевастьянов Б.А. Ветвящиеся процессы. – М.: Наука, 1971.0#$aСеджвик Р. Фундаментальные алгоритмы на С++. Алгоритмы на графах. – СПб.: ДиаСофтЮП, 2002. – 496 c.0#$aСкороходов В.А. Графы с магнитной достижимостью. Марков-ские процессы и потоки в сетях // деп. в ВИНИТИ, 2003, № 410-В20030#$aФляйшнер Г. Эйлеровы графы и смежные вопросы: Пер. с англ. – М.: Мир, 2002. – 176 с.0#$aФорд Л.P., Фалкерсон Д.Р. Потоки в сетях: Пер. с англ. – М.: Мир, 1996. – 334 с.0#$aФрэнк Г., Фриш И. Сети, связь и потоки: Пер. с англ. / Под ред. Д.А. Поспелова. – М.: Связь, 1978. – 448 с.0#$aХорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. – М.: Мир, 1989. – 655 с.0#$aЧеботарев П.Ю., Агаев Р.П. Согласование характеристик в многоагентных системах и спектры лапласовских матриц орграфов // Автоматика и телемеханика. – 2009. – № 3. – С. 136–151.0#$aЧеботарев П.Ю., Агаев Р.П. Об асимптотике в моделях консен-суса. – URL: http://ubs.mtas.ru/bitrix/components/bitrix/forum.interface/show_file.php?fid=76400#$aAiello, W., Awerbuch, B., Maggs, B. and Rao, S. Approximate load balancing on dynamic and asynchronous networks, Proc. 25th ACM Symp. of Theory of Computing. 1993. P. 632–634.0#$aAhuja, R.K., Magnanti, T.L., Orlin, J.B. Network Flows: Theory, Algorithms, and Applications. Prentice Hall, United States, 1993.0#$aAldous, D.J. Lower bounds for covering times for reversible Mar-kov chains and random walks on graphs. J. Theoret. Probab. 2, no. 1. 1989. P. 91–100.0#$aAleliunas, R., Karp, R.M., Lipton, R.J., Lovász L., and C.W. Rack-off. Random walks, universal travelling sequences, and the com-plexity of maze problem // Proc. 20th Ann. Symp. on Foundations of Computer Science. P. 218–223, 1979.0#$aAnderson, R.J., Lovász L., Shor, P.W., Spencer, J., Tardos, E. and Winograd, S. Disks, balls, and walls: analysis of a combinatorial game // Amer. Math. Monthly 96. 1989. pp. 481–493.0#$aBak, P. How Nature Works: The Science of Self-Organized Criti-cality. New York: Copernicus. 1996. (Рус. пер.: Как работает природа: Теория самоорганизованной критичности. – М.: УРСС: Либроком, 2013. – 276 с.0#$aBak, P., Tang, C. and Wiesenfeld, K. Self-organized criticality, Physical Review A 38. 1988, P. 364–374.0#$aBak, P., Chen K. Self-organized criticality. Scientific American 264, January 1991 issue. P. 46–53.0#$aBarabási A.-L., Albert R. Emergence of scaling in random networks / Science. 1999. V. 286. No. 5439. P. 509–512.0#$aBayer, D. and Diaconis, P. Trailing the dovetail shuffle to its lair. Ann. Appl. Probab. 2. 1992, P. 294–313.0#$aBiggs, N.L. Chip-Firing and the Critical Group of a Graph // Journal of Algebraic Combinatorics 9 (1999), pp. 25–45. Kluwer Academic Publishers. Netherlands. 1999.0#$aBiggs, N. The Tutte-polynomial as a growth function // J. Algebraic Combinatorics 10. 1999, pp. 115–133.0#$aBjörner, A., Lovász L., and Shor, P. Chip-firing games on graphs // Europ. J. Comb. 12 (1991), 283–291.0#$aBjörner, A. and Lovász L. Chip-firing games on directed graphs, J. Algebraic Combinatorics 1. 1992, pp. 305–328.0#$aBlanchard, Ph., Volchenkov, D. Random Walks and Diffusions on Graphs and Databases: An Introduction (Springer Series in Syner-getics). Springer-Verlag – Berlin–Heidelberg. 2011.0#$aBrin, S., Page, L. The PageRank Citation Ranking: Bringing Order to the Web. URL: http://infolab.stanford.edu/~backrub/pageranksub.ps0#$aChebotarev P., Agaev R. Forest matrices around the Laplacian ma-trix // Linear Algebra and its Applications. – 2002. – Vol. 356. – P. 253–274.0#$aChung, F., Ellis, R. A chip-firing game and Dirichlet eigenvalues // Discrete Math. 257. 2002. pp. 341–355.0#$aChung, F. Laplacians and the Cheeger inequality for directed graphs. Ann. Comb. 9, 1. 2005.0#$aCori, R. and Rossin, D. On the sandpile group of dual graphs // Eu-rop. J. Comb. 21. 2000, pp. 447–459.0#$aDasgupta, K., Singh, R., Viswanathan, B., Chakraborty, D., Muk-herjea, S., Nanavati, A.A. Social Ties and their Relevance to Churn in Mobile Telecom Networks // Proceedings of the 11th interna-tional conference on Extending database technology EDBT´08: Ad-vances in database technology ACM New York, NY, USA. 2008.0#$aDe Groot M.H. Reaching a Consensus // J. Amer. Statist. Assoc. – 1974. – Vol. 69, No. 345. – P. 118–121.0#$aDhar, D. Self-organized critical state of sandpile automaton models, Physical Review Letters 64. 1990, P. 1613–1616.0#$aDhar, D. The abelian sandpile and related models // Physica A: Sta-tistical Mechanics and its Applications. Volume 263, Issues 1–4, 1 February 1999, pp. 4–25.0#$aDhar, D., Sadhu, T., Chandra, S. Pattern formation in growing sandpiles // Euro. Phys. Lett. Volume 85, Number 4, 48002. 2009. arXiv:0808.1732 [cond-mat.stat-mech]0#$aDhar, D., Ruelle, P., Sen, S., Verma, D.-N. Algebraic Aspects of Abelian Sandpile Models. 1994. arXiv:cond-mat/94080200#$aEngel, A. The probabilistic abacus, Educ. Stud. in Math. 6. 1975. pp. 1–22.0#$aEngel, A. Why does the probabilistic abacus work? Educ. Stud. in Math. 7. 1976. pp. 59–69.0#$aFleischer, L., Skutella, M. Minimum Cost Flows Over Time without Intermediate Storage. // Proc. 35th ACM/SIAM Symp. on Discrete Algorithms (SODA), Baltimore, MD, January 2003, pp. 66–75.0#$aHajnal J. The ergodic properties of non-homogeneous finite Markov chains // Proc. Cambridge Philos. Soc. – 1956. – Vol. 52. – P. 67–77.0#$aHajnal J. Weak ergodicity in non-homogeneous Markov chains // Proc. Cambridge Philos. Soc. – 1958. – Vol. 54. – P. 233–246.0#$aHu, T.C. Multy-commodity network flows. – J. ORSA, 1963. № 11 (3). P. 344–360.0#$aIvashkevich, E.V., Priezzhev, V.B., Introduction to the sandpile model. Physica A 254, 97–116. 1998.0#$aKuznetsov, O.P., Zhilyakova, L.Yu. Flows and Limit States in Bidirectional Resource Networks// Preprints of the 18th IFAC World Congress. Milano (Italy) August 28 – September 2, 2011, pp. 14031–140350#$aKuznetsov, O.P., Zhilyakova, L.Yu. Nonsymmetric resource net-works. The study of limit states // Management and Production En-gineering Review. Volume 2, Number 3, September 2011, pp. 33–39.0#$aLancaster P., Tismenetsky M. The Theory of Matrices, 2nd ed. New York: Academic Press, 1985.0#$aLopez, C.M. Chip firing and the Tutte polynomial // Annals of Combinatorics, 1. 1997. pp. 253–259.0#$aLovász, L. and Winkler, P. Mixing of Random Walks and Other Diffusions on a Graph // Surveys in Combinatorics, 1995 (ed. P. Rowlinson), London Math. Soc. Lecture Notes Series 218, Cam-bridge Univ. Press. pp. 119–154.0#$aMaes, C., Redig, F., and Saada, E., The Abelian sandpile model on an infinite tree // Ann. Probab. Volume 30, Number 4 (2002), 2081–2107.0#$aMaes, C., Redig, F., and Saada, E., Abelian Sandpile Models in Infinite Volume. March, 2005. 24 p. URL:http://www.academia.edu/2491250/Abelian_sandpile_models_in_infinite_volume0#$aMaes, C., Redig, F., Saada E., The infinite volume limit of dissipa-tive abelian sandpiles, Commun. Math. Phys. 244, No. 2, 395–417. 2004.0#$aMeester, R., Redig, F., and Znamenski, D. The Abelian sandpile; a mathematical introduction. 2008. 20 p. URL:http://www.cs.vuanl/~rmeester/onderwijs/introduction_spatial_models/sandpile2.pdf0#$aMeshbahi M., Egerstedt M. Graph Theoretic Methods in Multiagent Networks. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2010.0#$aMeyer, C.D., Jr., Limits and the Index of a Square Matrix, SIAM J. Applied Math., 1974, vol. 26, pp. 469–478.0#$aMeyn, S., Tweedie, R. L. Markov Chains and Stochastic Stability. Cambridge University Press. 2009. 594 p.0#$aNorris, J. R. Markov Chains. Cambridge University Press. 1998. 237 p.0#$aPriezzhev, V.B., Structure of two-dimensional sandpile. I. Height probabilities. Journal of Stat. Phys. 74, 955–979 (1994).0#$aPrisner, E. Parallel Chip Firing on Digraphs // Complex Systems 8. 1994. pp. 367–383.0#$aRedig, F., Mathematical aspects of the abelian sandpile model. June, 2005. 60 p. URL: http://www.math.leidenuniv.nl/~redig/sandpilelectures.pdf0#$aRen W., Cao Y., Distributed Coordination of Multi-agent Networks: Emergent Problems, Models, and Issues. London: Springer, 2011.0#$aRothblum, U.G. Computation of the eigenprojection of a nonnega-tive matrix at its spectral radius // Stochastic Systems: Modeling, Identification and Optimization II, ser. Mathematical Programming Study, R.J.-B. Wets, ed. Amsterdam: North-Holland. – 1976. – Vol. 6. – P. 188–201.0#$aSeneta, E. Non-negative Matrices and Markov Chains. Springer. 2006. – 279 p.0#$aSpeer, E. R. Asymmetric abelian sandpile models // Journal of Sta-tistical Physics. April 1993, Volume 71, Issue 1–2, pp. 61–74.0#$aSpencer, J. Balancing vectors in the max norm. Combinatorica, v. 6. 1986, pp. 55–66.0#$aTurcotte, D.L., Self-Organized Criticality, Rep. Prog. Phys. 62, pp. 1377–1429. 1999.0#$aVolchenkov D., Volchenkova L., Blanchard P. Epidemic spreading in a variety of scale free networks. // Physical Review E 66, 046137. – 2002.0#$aWatts D.J., Strogatz S.H. Collective dynamics of ´small-world´ net-works // Nature. 1998. V. 393. No. 6684. P. 440–442.0#$aYe, N. A Markov chain model of temporal behavior for anomaly detection // Proceedings of the 2000 IEEE Workshop on Informa-tion Assurance and Security United States Military Academy, West Point, NY, 6–7 June, 2000. P. 171–174.##$aThere is an electronic copy4#$ariorpub.com