Актуальность работыТехническая эксплуатация жилых зданий — комплекс мероприятий, обеспечивающих наибольшую безотказность всех элементов и систем здания (см., например, [1-5]). Основным элементом технической эксплуатации жилых зданий является система планово-предупредительных осмотров и ремонтов. Но даже при их рациональной организации всегда имеется положительная вероятность отказа элементов здания. которая зависит не только от факторов старения конструкции. Отказ может быть вызван случайными обстоятельствами, например недопустимым повышением давления в системах отопления, холодного и горячего водоснабжения и др.Таким образом, можно выделить две основные функции по техническому обслуживанию жилищного фонда:работы по ремонту состояния жилых зданий, профилактическому техническому обслуживанию и ремонтным работам.работы но устранению аварийных ситуаций и удовлетворению заявок жильцов на устранение различных неисправностей. Мы будем называть эти работы и соответствующие вызовы экстренными.Цель управляющей компании с одной стороны, не допускать образования слишком большой очереди из экстренных вызовов, а с другой, — выполнить все планируемые работы по профилактическому техническому обслуживанию.Целью работы является решение следующих задач:выяснить условия на имеющиеся у компании ресурсы, при которых обозначенная цель выполнима;построение в некотором смысле оптимального поведения управляющей компании.Формулировка задачиНаш анализ опирается на теорию массового обслуживания, являющуюся частью теории вероятностей. Многие исследования как в технологии строительного производства, так и в организации управленческой де­ятельности основываются на вероятностном подходе, в частности, на результатах теории массового обслуживания (см., например. [1, 6-11]). Предлагаемая в данной статья модель не является классической и относится к так называемым системам с вакансиями, изучение которых началось сравнительно недавно (см., например. [12-15]). Мы считаем, что работа по плановому осмотру и ремонту начинается, только когда нет экстренных вызовов. Если такая работа началась, то по отношению к экс­тренным вызовам прибор (рабочая бригада) становится недоступен до момента окончания данного цикла плановых работ, что и означает вакансию. Для простоты в этой статье предполагается, что имеется лишь одна рабочая бригада, т.е. один прибор в системе массового обслуживания.Предполагается, что управляющая компания (УК) жилищно-коммунального хозяйства (ЖКХ) имеет одну или несколько бригад специалистов по обеспечению функционирования технического оборудования (теплоснабжению, водоснабжению, вентиляции и т.д.) жилых зданий. У этих бригад две основные задачи устранение внезапно возникающих поломок оборудования и проведение профилактических осмотров и ремонтных работе целью обеспечения необходимого уровня надежности соответствующих технических систем. Решение указанных задач начинается со сбора и обработки статистических данных, позволяющих получить оценки параметров, определяющих функционирование системы. В качестве этих параметров выступают: λ-1 среднее время между последовательными моментами возникновения внезапных поломок оборудования, μ-1 среднее время ремонта при таких поломках. ν-1 — среднее время профилактического осмотра и ремонта.Кроме того предполагается, что бригада может приступить к такому осмотру, только когда нет заявок на экстренный ремонт оборудования. Задача УК выработать такой план профилактических осмотров, при котором, с одной стороны за определенное время Т будет осмотрено и восстановлено необходимое число объектов N, а с другой, среднее число заявок на ремонт внезапно возникших поломок не превосходит заданный уровень δ1. Как будет показано далее, эта задача может быть невыполнима при некоторых значениях λ,μ,ν. В такой ситуации УК должна принять организационные решения, например, увеличить количество специалистов. Наш анализ будет опираться на методы теории массового обслуживания. Переход к многоканальному случаю не имеет принципиальных препятствий, но технически достаточно сложен. Это будет сделано в следующих работах.Рассматривается простейшая ситуация, когда в распоряжении УК одна бригада специалистов. Сделаем следующие предположения.Интервалы между запросами на экстренный ремонт независимые экспонен­циально распределенные случайные величины $\{\tau_n\}^\infty_{n=1}$, т.е. $P(\tau_n\leq x)=1-e^{-\lambda x}$. Это означает, что входящий в систему обслуживания ноток требований — пуассоновский (см., например. [16]) и математическое ожидание Mτn=λ-1.Времена экстренного ремонта поломок $\{\eta_n\}_{n=1}^\infty$ независимые экспоненциально распределенные случайные величины, т.е.  P(ηn≤x_)=1-e-μx и Eηn=μ-1Имеется одна бригада работников, которая может быть занята либо ремонтом внезапно возникших поломок, либо профилактическим осмотром или ремонтом оборудования. Это означает, что в системе обслуживания один прибор. Анализ многоканальных систем значительно.Бригада может приступить к профилактическому осмотру и ремонту, только когда нет запросов на экстренное обслуживание. Мы назовем также запросы требованиями (или клиентами) первого типа. В момент, когда прибор освобождается от требований первого типа, бригада с вероятностью п приступает к профилактическому осмотру и (если надо) ремонту какого-нибудь объекта. Считаем, что такие объекты всегда есть в наличии и будем называть их требованиями второго тина. Времена обслуживания таких требований также имеют экспоненциальное распределение с параметром р и математическим ожиданием ν-1. После окончания обслуживания требования второго типа бригада начинает обслуживать требования первого тина, если они появились в системе, или ждет их появления.В моменты освобождения системы от требований первого типа прибор с вероятностью 1 — α не начинает обслуживать требования второго типа, а ждет появления требований первого типа.Рассмотрим процесс X(t)=(Q(t),e(t)), где Q(t) — число требований первого типа в системе в момент t. a e(t) = 1. если в момент t прибор обслуживает требования второго типа (профилактический осмотр и ремонт) и e(t) = 0. в противном случае. Как известно из теории массового обслуживания (см., например. [16,17,18]), в сделанных предположениях (X(t),e(t)) является цепью Маркова и на этой основе мы проведем анализ этого процесса и получим операционные характеристики системы.Стационарное распределение процесса X. Для t≥0 0 определим вероятностиP0j=P{Q(t)=j,e(t)=0}P1j=P{Q(t)=j,e(t)=1}для j=0,1,2….Как известно из теории вероятностей (см., например. [18]), эти функции удовлетворяют системе дифференциальных уравнений. Но нас будет интересовать предельные при t→∞ вероятности, т.е.$P_{0j}=\lim_{t \to \infty}P_{0j}(t), P_{1j}=\lim_{t \to \infty}P_{1j}(t)$,поскольку именно они определяют операционные характеристики системы на достаточно больших промежутках времени. Эти пределы существуют и задают распределение вероятностей тогда и только тогда, когда $\rho=\frac{\lambda}{\mu}$. В этой ситуации P0j>0 и (см. [16], [17]).Последовательности вероятностей {Poj,j=0,1,…} и {P1j,j=0,1,…} удовле­творяют системе уравнений баланса [16], которая в нашей модели имеет видλP00=νP10+μ(1-α)P01,(λ+μ)P0j=νP1j+λP1j+λP0j-1+μP0j+1, j>0(1)и(λ+ν)P10=αμP01,λ+μP1j=λP1j-1, j>0(2)Для решения этой системы определим производящие функции$\Pi_0(Z)=\displaystyle\sum_{j=1}^{\infty}z^jP_{0j},\Pi_1(Z)=\displaystyle\sum_{j=1}^{\infty}z^jP_{1j}$где переменная | z | <1.Умножая j-oe уравнение в (1)и в (2) на zj и складывая по j, из (2) получаем$\Pi_1(Z)\frac{\alpha\mu P_{01}}{\lambda(1-z)+v}$(3)а из (1)$(\lambda+\mu)\Pi_0(z)-\mu P_{00}$$=v \Pi_1(z)+\lambda z \Pi_0(z)+\frac{\mu}{z}\Pi_0(z)-\frac{\mu}{z}P_{00}-\alpha \mu P_{01}$(4)Подставляя (3) в (4), после несложных выкладок получаем$\Pi0(z)=\frac{1}{1-\rho z}(P_{00}+\frac{\alpha \beta z}{1+\beta(1-z)}P_{01},$где $\beta=\frac{\lambda}{v}$. Для определения P00 и P01 используем первые уравнения в (1) и (2).Toгда $P_{01}=\frac{\rho(1+\beta)}{1+(1-\alpha)\beta)}P_{00}$ и$\Pi_0(z)=\frac{P_{00}}{1-\rho z}(1+\frac{\alpha \rho \beta(1+\beta)z}{(1+\beta(1-z))(1+\beta-\alpha \beta)})$(5)$\Pi_1(z)=\frac{\alpha \beta(1+\beta)}{(1+\beta-\alpha \beta)(1+\beta(1-z))}P_{00}$      (6)неизвестная вероятность P00 определяется из условия нормировкиП0(1)+П0(1)=1,откуда$P_{00}=\frac{(1-\rho)(1+\beta(1-\alpha))}{1+\beta+\alpha \beta^2}=\frac{1-\rho}{1+\gamma},$(7)где $\gamma=\frac{\alpha \beta(1+\beta)}{1+\beta-\alpha \beta}.$ВыводыСоотношения (5)-(7) позволяют найти операционные характеристики, по которым можно судить, насколько УК справляется с решением поставленной проблемы.Одной из важнейших характеристик системы является среднее число $\bar{q}$ требований первого типа — среднее число запросов на ремонт вышедшего из строя оборудования.$\bar{q}=\frac{\rho}{(1-\rho)}+\frac{\alpha\beta^2(1+\beta)}{1+\beta+\alpha\beta^2}$(8)Среднее число n(Т) завершений профилактических осмотров и ремонтов за время Т дается выражением$n(T)=v\Pi_1(1)T=v\frac{(1-\rho)\alpha\beta(1+\beta)}{1+\beta+\alpha\beta^2}T$(9)Предположим, что компания желает так организовать работу системы, чтобы среднее число вызовов на срочный ремонт, находящихся в системе, не превышало δ1 а среднее число объектов, профилактический осмотр и ремонт которых завершен за время Т, был не меньше N., т.е.$\bar{q}<\delta_1, v\Pi_1(1)>\frac{N}{T}$(10)Здесь δ1 и N заданы, а в качестве управляющего параметра выступает вероятность α. Посмотрим, при каких значениях параметров системы λ,μ,ν этот результат достижим и какие α следует выбирать.Если β2α1>1, т.е.$N>\frac{Tv(1-\rho)(1+\beta)}{\beta}$, требуемое число профилактических осмотров и ремонтов N не может быть осуществлено при имеющихся параметрах системы (λ,μ,ν), ни при каких значениях α. Следовательно, необходимо принять решения управленческого характера.Если β2α1<1. т.е.$N<\frac{Tv(1-\rho)(1+\beta)}{\beta}$  получаем следующее условие$\alpha>\frac{(1+\beta)\alpha_1}{1-\beta^2\alpha_1}=\delta_3=\frac{(1+\beta)N}{Tv(1-\rho)\beta(1+\beta)-\beta^2N},$(11)которое обеспечивает требуемое среднее число профилактических ремонтов.Чтобы выполнялись оба неравенства в (10) в соответствии с (11) необходимо и достаточно, чтобыδ3<α<δ2.Это возможно, если δ3<δ2. Получаем неравенство$\frac{(1+\beta)N}{Tv(1-\rho)\beta(1+\beta)-\beta^2N}<\frac{\delta_1(1-\rho)-\rho}{\beta^2((1+\beta)(1-\rho)+\delta_1)},$(12)где $N>\frac{Tv(1-\rho)(1+\beta)}{\beta}$, $\delta_1<\frac{\rho}{1-\rho}$. Поскольку α, будучи вероятностью, лежит в отрезке [0,1], необходимо выполнение неравенства δ3≤1, которое, в силу определения имеет вид$N<\frac{Tv(1-\beta)\beta(1+\beta)}{(1+\beta+\beta^2}.$(13)Если выполняются (12), (13), выбрав α∈(δ3,min(1,δ2)), получим систему, в которой сред­нее число имеющихся в системе запросов на обслуживание (требований первого типа) не превосходит δ1, а среднее число профилактических осмотров за время Т не меньше заданного уровня N.Если хотя бы одно из условий (12) или (13) не выполняется, следует предпринять действия управленческого характера — увеличить число специалистов, уменьшить число обслуживаемых объектов, увеличить период Т проведения профилактических ремонтов и т.д.На основе выполненных исследования разработан план практического применения полученных результатов.Шаг 1. На основании реальных наблюдений находятся статистические оценки $\widehat{\lambda},\widehat{\mu},\widehat{v}$ параметров модели λ,μ,ν. Если окажется, что$\widehat{\rho}=\frac{\widehat{\lambda}}{\widehat{\mu}}\geq1$, поставленная задача не может быть решена.Шаг 2. Выбираются значения δ1,T,N, причем$\widehat{\delta}_1>\frac{\widehat{\lambda}}{\widehat{\mu}-\widehat{\lambda}},N<\widehat{\beta}^{-1}T\widehat{v}(1-\widehat{\rho})(1+\widehat{\beta}),$где $\widehat{\rho}=\frac{\widehat{\lambda}}{\widehat{\mu}}$ , $\widehat{\beta}=\frac{\widehat{\lambda}}{\widehat{v}}.$Шаг 3. Вычисляются $\widehat{\delta}_2$и $\widehat{\delta}_3$ соответственно с заменой ρ и β на их оценки $\widehat{\rho}$ и $\widehat{\beta}$.Шаг 4. Проверяются условия.Если $\widehat{\delta}_2>\widehat{\delta}_3$ и, то выбирается $\widehat{\alpha}\in(\widehat{\delta}_2,\widehat{\delta}_3)\cap(0,1)$. Тогда в системе с параметрами $\widehat{\lambda},\widehat{\mu},\widehat{v},\widehat{\alpha}$ будет выполнено (10).Если $\widehat{\delta}_2>\widehat{\delta}_3$; выполнение (10) невозможно и нужно принимать решения управленческого характера.