ВведениеДревесина на протяжении многих веков является одним из основных конструкционных материалов в строительстве, что обусловлено ее высокими физико-механическими и техническими качествами. На современном этапе развития строительной отрасли в области проектирования и возведения зданий и сооружений с использованием конструкций из дерева имеет место значительный прогресс благодаря применению клееных деревянных конструкций [1-3].Для совершенствования проектных решений и снижения материалоемкости строительства требуется разработка и развитие научно-обоснованных методов расчета и оптимизации строительных конструкций. Во многих конструкциях используются элементы с постоянной по длине геометрией поперечного сечения, однако из соображений уменьшения расхода материала в некоторых случаях целесообразно применять элементы переменной жесткости [4-6].Постановка задачи о наивыгоднейшем очертании колонны принадлежит Ж.Л. Лагранжу. Подробный обзор аналитических решений задачи Лагранжа представлен в работах А.П. Сейраняна [7-8]. Особенностью аналитических решений задачи оптимизации сжатой колонны является наличие точек с нулевой площадью, где будут возникать бесконечные напряжения. Таким образом, для создания реальных конструкций эти решения неприменимы.Решение с учетом ограничения на минимальную площадь поперечного сечения может быть выполнено с использованием численных методов. Численные решения задач оптимизации сжатых стержней приведены в работах [9-13]. В указанных публикациях найденная оптимальная форма стержня описывается нелинейной функцией, что затрудняет практическую реализацию таких решений, особенно в случае использования дерева в качестве конструкционного материала. Представляет интерес решение задач оптимизации стержней с линейно меняющейся высотой поперечного сечения и определение области их эффективного использования.МетодыРассматривается упругая деревянная стойка прямоугольного поперечного сечения, ширина которой постоянна и равна b, а высота меняется от h0 до βh0 по линейному закону (рис. 1). Стойка сжимается силой F. В качестве варьируемых параметров примем высоту h0, отношение β, а также параметр α=b/h0. Стойка может иметь различные закрепления в плоскостях xz и xy, коэффициенты приведения длины в этих плоскостях равны μxz и μyz соответственно. Требуется найти такие значения параметров α и β, чтобы критическая сила достигла максимума при постоянной массе стержня.Рис. 1. Расчетная схемаОбъем стержня можно вычислить по формуле:Выразим из (1) h0:Для стержня постоянного сечения из упругого материала критическая сила определяется по известной формуле Эйлера:В действующих нормах проектирования деревянных конструкций для стержней с линейно меняющейся высотой поперечного сечения переменная жесткость учитывается коэффицентом kжN, который зависит от способа закрепления и параметра β. Уточнение нормативных формул коэффициента kжN  нами было выполнено ранее. Расчетные формулы для коэффициента kжN  представлены в таблице 1.Табл. 1. Расчетные формулы коэффициента kжNзакреплениеμплоскость xzплоскость xyшарнир-шарнир10.5116β2+0,5004β-0,0103-0,1305β2+0,7193β+0,4079шарнир-защемление0,70,515β2+0,5054β-0,0157-0,1731β2+0,793β+0,3783защемление-защемление0,50,5158β2+0,5037β-0,0172-0,2186β2+0,8624β+0,3499защемление-свободный край2-0,1158β2+1,0848β+0,025-0,1236β2+0,5089β+0,612   Критическая сила при потере устойчивости в плоскости xz может быть вычислена как:При потере устойчивости в плоскости xy формула критической силы принимает вид:Целевую функцию представим в виде:где   Требуется найти такие α и β, чтобы целевая функция принимала максимальное значение.Решение задачи нелинейной оптимизации выполнялось в среде MATLAB с использованием пакета Optimization Toolbox для всех возможных сочетаний μxy = [0,5; 0,7; 1; 2] и μxz = [0,5; 0,7; 1; 2]. В качестве оптимизационного метода  использовался алгоритм последовательного квадратичного программирования (SQP) [14-16]. Для β принимался диапазон возможных значений от 0,1 до 1, а для α — от 0,1 до 10.Результаты и обсуждениеПолученные в результате оптимальные значения параметров α и β сведены в табл. 2.Табл. 2. Оптимальные значения параметров α  и β при различных закреплениях в двух плоскостяхμxzμxy0,5 0,7  1 2 0,5α=0,9817β=0,9593α=0,7021β=0,9593α=0,4877β=0,9479α=0,2162β=0,50360,7 α=1,3957β=0,9905α=0,9924β=0,9801α=0,6865β=0,961α=0,2998β=0,49111α=2β=1α=1,4309β=0,9955α=0,991β=0,9784α=0,4235β=0,47422α=3,4156β=0,7719α=2,4346β=0,7671α=1,6883β=0,7556α=0,731β=0,3765В табл. 2 серым выделены варианты, для которых оптимальный параметр β оказался близок к 1. Для этих вариантов использование переменного сечения неэффективно. Вообще говоря, для указанных вариантов βопт = 1, а αопт = μxy/μxz  (из условия равноустойчивости в двух плоскостях), в чем можно убедиться, если построить поверхности f(α,β). Одна из таких поверхностей, соответствующая μxz=1 и μxy=0,7, показана на рис. 2. Оптимальная точка, найденная при помощи MATLAB, отмечена красным маркером. Отклонение β от 1 связано с тем, что касательная в отмеченной точке и при β=1 практически горизонтальна. Рис. 2. Поверхность f(α, β) при μxz = 1 и μxy = 0,7Из таблицы 2 видно, что использование переменного сечения с линейным изменением высоты по длине эффективно, только когда хотя бы в одной из плоскостей стержень закреплен по схеме «защемление-свободный край». На рисунке 3 приведена одна из таких поверхностей f(α,β), соответствующая случаю μxz=2 и μxy=0,5.  При любых μxz и μxy поверхности f(α,β)  имеют гребень, соответствующий равноустойчивому состоянию, на котором и находится оптимальная точка.Рис. 3. Поверхность f(α, β) при μxz=2 и μxy=0,5Положение этого гребня можно найти, если приравнять (4) и (5). В результате получим формулу:Подстановка (7) в (6) приведет к следующему выражению для целевой функции:Продифференцируем (8) по β и приравняем к нулю:После упрощений задача поиска оптимального β сводится к уравнению:При использовании зависимостей, представленных в действующих нормах расчета деревянных конструкций, для некоторых вариантов закрепления решение уравнения (10) может быть получено аналитически. Так, при μxz=μxy=2: После упрощений имеем квадратное уравнение, которое в диапазоне β∈[0;1] имеет корень β=0,3071. Данное решение несколько отличается от результата, представленного в табл. 2, что объясняется различием нормативных и полученных нами формул коэффициентов kжN. При поиске минимума функции (6) в MATLAB с использованием нормативных формул было получено значение β=0,3072. По сравнению со стержнем постоянного сечения для оптимального стержня критическая нагрузка оказалась выше на 22%. Отметим, что в задаче Лагранжа максимально возможный прирост критической нагрузки составляет 33% [17-20].ВыводыАналитически и численно решена задачи оптимизации стержня прямоугольного поперечного сечения, высота которого меняется по линейному закону при возможной потере устойчивости в двух плоскостях. Для различных вариантов закрепления найдены оптимальные значения безразмерных геометрических параметров, обеспечивающие максимум критической нагрузки.Установлено, что применение стержней с линейно меняющейся высотой целесообразно только в случае, когда по крайней мере в одной плоскости стержень закреплен по схеме «защемление-свободный край». При использовании стержней переменной жесткости c линейно меняющейся высотой сечения прирост критической нагрузки может составить 22% по сравнению со стержнями постоянной жесткости.