Одной из актуальных проблем, стоящих перед современной юридической наукой является проблема использования математических методов в правовых исследованиях. Об этой проблеме написано немало работ.  Однако, в указанных работах за исключением работ О.А. Гаврилова  чаще всего констатируется необходимость более широкого использования математических методов в юридической науке, либо используются в метафорическом смысле. Например, утверждение о том, что «необходим переход от плоскостного восприятия уголовного закона к его объёмному восприятию» не может рассматриваться иначе как «метафорическое высказывание» не имеющее прямого отношения к использованию математических методов в юриспруденции. В самом деле, в своей статье  И.М. Мацкевич предлагает «рассмотреть схему построения системы уголовного законодательства на основании псевдосферы: пространственного круга с ячейками в виде треугольников. При этом каждая ячейка представляет собой равнозначный по сравнению с другими элемент круга».Нисколько не оспаривая данную точку зрения, хотелось бы отметить следующее. Во – первых, юридическая наука направлена на познание закономерностей становления, развития и функционирования  государственно – правовых явлении при помощи определенных методов. Результатом использования этих методов являются знания о закономерностях становления, развития и функционирования государственно – правовых явлении. При этом объектом научного анализа выступают государственно – правовые явления, а не прямые, точки, углы, окружности и.т.д. Следовательно и описание данных явлений должно осуществляться с помощью, выработанных юридической наукой категории: «понятие», «признак», «разновидность», а также «основные единицы (элементы) юридического анализа: а) субъективные права; б) юридические обязанности; в) юридические гарантии; г) меры защиты и меры юридической ответственности; д) основания и условия их возникновения, изменения и прекращения (юридические факты). В качестве вспомогательных единиц юридического анализа выступают способы и сроки реализации субъектных прав и обязанностей, мер защиты и мер ответственности, юридических гарантий, а также пределы их действия во времени, в пространстве и по кругу лиц». Из этого можно сделать первый вывод о том, что математические методы не могут использоваться на начальном этапе юридического исследования: этапе юридического анализа, поскольку любое юридическое  исследование предполагает прежде всего описание данного правового явления при поморщи определенных понятий и категорий, а также «единиц юридического анализа».  Возникает вопрос, на каком же этапе возможно использование математических методов в юридической науке. По нашему мнению использование математических методов возможно как на этапе качественного анализа государственно – правовых явлений, так и при использовании количественного анализа государственно – правовых явлений. Рассмотрим эти особенности более подробно.Использование математических методов при осуществлении качественного анализа государственно – правовых явленийИспользование математических методов при осуществлении качественного анализа государственно – правовых явлений основывается на следующих предпосылках. Любое правовое явление Xобладает набором определенных свойств. Обозначим эти свойства как  X1;X2 ; X3 ; Xn; при это порядковый номер этих свойств задается исследователем. При анализе того или иного правового явления например способов изложения норм права в статье нормативно правового акта: прямой, отсылочный, бланкетный и принимая во внимание, что норма права состоит из гипотезы, диспозиции и санкции мы можем получить следующую таблицу возможного сочетания приемов и способов изложения элементов  нормы  права в статье нормативно – правового акта.Способы изложения элементов  норм права в нормативно – правовом акте Элементы нормы права/Способы изложения в статье нормативно правового актаГипотезаДиспозиция СанкцияПрямой   Отсылочный   Бланкетный    При этом, возможны несколько вариантов заполнения такой таблицы Вариант 1. Гипотеза, диспозиция, санкция изложены только прямым способом. Тогда таблица будет выглядеть следующим образомЭлементы нормы права/Способы изложения в статье нормативно правового актаГипотезаДиспозиция СанкцияПрямой+++Отсылочный   Бланкетный      Вариант 2 Гипотеза, диспозиция изложена прямым способом, санкция отсылочным способом. Тогда таблица будет выглядеть следующим образомЭлементы нормы права/Способы изложения в статье нормативно правового актаГипотезаДиспозиция СанкцияПрямой++ Отсылочный  +Бланкетный      Вариант 3 Гипотеза, изложена прямым способом, диспозиция и санкция отсылочным способом.  Тогда таблица будет выглядеть следующим образомЭлементы нормы права/Способы изложения в статье нормативно правового актаГипотезаДиспозиция СанкцияПрямой+  Отсылочный ++Бланкетный      Вариант 4.  Гипотеза изложена бланкетным способом, диспозиция и санкция прямым способом. Тогда таблица будет выглядеть следующим образомЭлементы нормы права/Способы изложения в статье нормативно правового актаГипотезаДиспозиция СанкцияПрямой ++Отсылочный   Бланкетный +    Вариант 5 Гипотеза изложена бланкетным способом, диспозиция прямым способом, санкция отсылочным способом. Тогда таблица будет выглядеть следующим образомЭлементы нормы права/Способы изложения в статье нормативно правового актаГипотезаДиспозиция СанкцияПрямой + Отсылочный  +Бланкетный +    Вариант 6 Гипотеза, диспозиция и санкция изложены отсылочным способом.  Тогда таблица будет выглядеть следующим образомЭлементы нормы права/Способы изложения в статье нормативно правового актаГипотезаДиспозиция СанкцияПрямой   Отсылочный+++Бланкетный      Вариант 7. Гипотеза, диспозиция и санкция изложены бланкетным способом.  Тогда таблица будет выглядеть следующим образомЭлементы нормы права/Способы изложения в статье нормативно правового актаГипотезаДиспозиция СанкцияПрямой   Отсылочный   Бланкетный +++  Вариант 8 Гипотеза изложена бланкетным способом, диспозицияизложена  отсылочным способом, санкция прямым способомТогда таблица будет выглядеть следующим образомЭлементы нормы права/Способы изложения в статье нормативно правового актаГипотезаДиспозиция СанкцияПрямой  +Отсылочный + Бланкетный +    Вариант 9. Гипотеза изложена прямым способом, диспозиция отсылочным способом, санкция бланкетным способом. Тогда таблица будет выглядеть следующим образомЭлементы нормы права/Способы изложения в статье нормативно правового актаГипотезаДиспозиция СанкцияПрямой+  Отсылочный + Бланкетный   + Если в данной  таблице заменить плюсы на 1, а отсутствующие элементы на 0, то мы получим классическую бинарную матрицу размером 3x3  Соответственно число вариантов возможного изложения элементов нормы права в статье нормативно – правового акта будет равно 9, так как 3*3 равно 9.При этом бинарная матрица, являющаяся результатом анализа способов изложения норм права, при котором гипотеза нормы права изложена прямым способом, диспозиция – отсылочным способом, а санкция – бланкетным способом, будет выглядеть следующим образом Теперь предположим, что нам  надо, чтобы все элементы нормы права были изложены несколько иным способом. Соответственно, бинарная матрица будет выглядеть по другому , где гипотеза и санкция изложены прямым способом, диспозиция бланкетным способом.Для того, чтобы осуществить переход от способа изложения норм права, при котором гипотеза нормы права изложена прямым способом, диспозиция – отсылочным способом, а санкция – бланкетным способом, к способу при которомгипотеза и санкция изложены прямым способом, диспозиция бланкетным способом, например, статьи 246, 247, 248, 249 УК РФ необходимо вначале провести анализ должного и сущего состояния бинарной матрицы. При этом   должное состояние матрицы будет выглядеть следующим образомСледовательно мы можем определить матрицу регулирующего воздействия которая будет определятся как разница между матрицей должного и матицей сущего, поскольку регулирование – «есть устранение рассогласования между  сущим и должным в правовой сфере»Такое регулирующее воздействие является оптимальным, поскольку сумма значений срок в каждом столбце первой матрицы = 1, сумма значений строк в каждом столбце во второй матрице = 1, следовательно, сумма значений строк в каждом столбце регулирующей матрицы должно быть равно 0.Если же рассматривать правовое регулирование в целом, то можно выделить ряд параметров и свойств, которым характеризуется правовое регулирование: «определенность 1) объекта 2)предмета правового регулирования, 3)степень урегулированности  общественных отношений, которые входят в предмет правового регулирования, определенность 4) субъектов, 5) объектов, 6) субъективных прав и 7) обязанностей участников общественных отношений которые входят в предмет правового регулирования, 8) оснований возникновения ипрекращения правоотношений, а также субъективных прав и обязанностей их участников; 9) способов реализации субъективных прав и обязанностей участников правоотношений; 10) сроков реализации субъективных прав и обязанностей участников правоотношений; 11) мер защиты и 12) мер ответственностиучастников правоотношений; 13) видов источников права, которым урегулированы данные общественные отношения, 14) пределов действия источников права во-времени, 15) пределов действия источников права в пространстве;17) пределов действия источников права по кругу лиц; 18) соответствие норм права или индивидуального предписания требованиям правового регулирования; 19) соответствие норм права или индивидуального предписания принципам правового регулирования; 20) соответствие целей правового регулирования потребностям общественного развития; 21) осуществление функций правового регулирования; 22) достижимость целей правового регулирования;23) адекватность средств правового регулирования заявленным целям; 24) реализуемость средств правового регулирования».Соответственно институциональная матрица будет выглядеть следующим образомМправовогорегулирования= A1; A2;A3;A4; A5; A6; A7; A8; A9; A10; A11; A12; A13; A14;A15; A16;A17;A18; A19; A20; A21; A22; A23; A24;Следовательно, в зависимости от особенностей состояния правового регулирования мы можем предложить соответствующий алгоритм правового регулирования, а также определить последовательность действий необходимых для решения той или иной ситуации.Кроме того использование линейной бинарной матрицы вида 1   1   1, которая является аналогом таблицы соотношения различных видов правовых норм Вид правовой нормы/Наличие Управомачивающая Обязывающая Запрещающая  +++ позволяет анализировать особенности регулирования общественных отношений и сделать вывод о том, что первичной единицей регулирования общественных отношений выступает не норма права, а правовой институт, представляющий собой систему, по крайней мере, трех взаимодействующих и взаимосвязанных между собою норм: управомачивающие, обязывающей и запрещающий.  Таким образом, мы можем сделать вывод о том, что использование бинарных матриц может быть очень плодотворным при анализе качественной стороны государственно – правового явления, при условии что свойства того или иного явления четко определены и не носят оценочный характер.Возникает вопрос, почему при анализе того или иного правового явления необходимо использовать бинарные матрицы. Дело все в том, что правовые явления анализируются в данном случае с качественной стороны. При анализе свойств того или иного правового явления мы можем констатировать наличие того или иного свойства, либо констатировать отсутствие у явления того или иного свойства.  При этом, если у явления присутствует то или иное свойство то его наличие можно обозначить цифрой 1, а отсутствие того или иного свойства 0. Поскольку свойств несколько и явлений несколько, то при математическом анализе свойств тех или иных правовых явлений можно использовать бинарные матрицы, которые как известно состоят из двух цифр 0 и 1. Использование математических методов при осуществлении количественного анализа правовых явленийЧто касается использования математических методов при осуществлении количественного анализа правовых явлений, то наряду со статистическими методами можно также использовать метод бинарных матриц.  Покажем это на конкретном примере. Например, у нас есть несколько норм или институтов права с определенным набором свойств и признаков.С помощью бинарной матрицы мы получаем качественную характеристику того или иного правового института; а с помощью количественных методов мы можем узнать сколько институтов с такими то свойствами имеется в той или иной отрасли права, удельный вес таких институтов в правовой системе.Каким же образом мы можем это сделать.Для этого мы напишем следующее уравнение  (1) где  an –качественное свойство того или иного института права  – количество институтов с такими свойствами n – порядковый номер того или иного свойства.Соответственно удельный вес того или иного правового института в правовой системе с заданными свойствами будет равен При этом бинарные матрицы получаются как результат дифференцирования уравнения (1) по Каким же образом, данное уравнение может быть использовано для решения задач, стоящих перед юридической наукой.  Поясним это на конкретном примере.  Допустим, нам надо определить количество императивных норм в той или иной отрасли права. Каким же образом мы можем воспользоваться данным уравнениемПредположим, что у нас есть два вида юридических норм: императивные и диспозитивныеТогда общее количество норм в той или иной отрасли права будет определяться по формуле  , где  – коэффициент императивности =1,  - коэффициент диспозитивности равный1.   - количество императивных норм,  – количество диспозитивных норм2. Поскольку коэффициент императивности и коэффициент диспозитивности – это качественные коэффициенты, могущие принимать только 2 значения 0 и 1, следовательно в системе состоящей из двух видов норм права: императивных и диспозитивных, общее количество норм  У= X1+ X2Отсюда удельный вес императивных норм = X1/ X1+ X2, следовательно,  удельный вес диспозитивных норм равен X2/ X1+ X2. Совокупный же удельный вес императивных и диспозитивных норм равен (X1/( X1+ X2)+ (X2/( (X1+ X2))=1Отсюда следует, что удельный вес диспозитивных норм будет определяться по формуле Количество диспозитивных норм, будет равно  X2= (1- X1/ X1+ X2)*( X1+ X2)Если заменить (X1+ X2) выражением , то мы можем определить формулу определяющую количество императивных норм. При этом формула будет выглядеть следующим образом (2) Данная формула позволяет уточнить тезис некоторых ученых о том, что «соотношение императивных и диспозитивных норм определяется формулой у=k/x, где y – диспозитивные нормы; x – императивные нормы», более четко определить коэффициент пропорциональности. Таким образом, применение классических математических методов в юриспруденции позволяет научно обоснованно определять соотношение императивных и диспозитивных норм в количественном отношении.Также применение классических математических методов в юриспруденции позволяет решать задачи определения эффективности правового регулирования.Покажем это на следующем примере.Путь X1- число норм, или институтов в которых допущены ошибки в правовом регулировании.  Следовательно, удельный вес норм или институтов, в которых нет ошибок в правовом регулировании будет равен .  Но этот же удельный вес может также служить показателем формальной эффективности правового регулирования: Таким образом классические математические методы, в том числе метод бинарных матриц позволяет решать следующие научно – исследовательские задачи: определение количественного соотношения различных видов правовых норм, которое в общем виде определяется по формуле  - общая сумма норм, институтов и других явлений правовой действительности не относящихся к данному явлению,  – общее количество исследуемых правовых явлений. Таким образом на основании всего вышеизложенного мы можем сделать вывод о том, что применение методов бинарных матриц в юриспруденции позволяет составить своеобразную топографическую карту того или иного сложного правового явления, определить необходимое регулирующее воздействие на то или иное правовое явление и в ряде случаев повысить эффективность правовых процессов.В заключение необходимо отметить, что применение математических методов в том числе методов бинарных матриц  в юридической науке может быть очень полезным и плодотворным, но только после осуществления юридического и других видов анализа соответствующего правового явления и четкого определения свойств и характеристик данного явления, которые не допускают неоднозначной интерпретации.