Широкое применение железобетонных конструкций (ЖБК) в качестве несущего остова зданий началось примерно с 60-х годов прошлого века и насчитывает более 70 лет. За столь длительный период эксплуатации в конструкциях появились дефекты различного типа. В настоящее время, одним из актуальных вопросов является вопрос оценки их технического состояния в соответствии с ГОСТ 31937-2024. Использование современных приборов неразрушающих методов контроля позволяет определять лишь физико-механические характеристики ЖБК, и потом с помощью расчётных формул оценивать их несущую способность.  Одним из способов оценивания несущей способности конструкций, без применения расчётных методов, является вибрационный метод [1–3].Для теоретического обоснования вибрационного метода неразрушающего контроля железобетонных конструкций [1, 4], путем измерения частот колебаний и геометрических параметров конструкции необходимо точно понимать в какой степени в работе данной ЖБК задействованы ее элементы. Какая доля нагрузки приходится на бетон, а какая на арматуру?Ключевым параметром для определения этих соотношений является положение нейтральной линии сечения, или высота сжатой зоны бетона x [3,5]. Расчеты этого параметра, согласно нормативной документации, позволяют рассчитать значение нейтральной линии для состояния близкого к разрушению конструкции, что не приемлемо для целей диагностики.Согласно СП 63.13330.2018 пространственная жесткость железобетонной балки определяется по формуле:D=kb∙Eb∙I+ks∙Es∙Is,(1)где   Eb — модуль упругости бетона;         Es — модуль упругости арматуры;         I — момент инерции полного сечения;         Is — момент инерции всей продольной арматуры в сечении;         kb — безразмерный коэффициент для бетона, вычисляемый по формуле:$$ k_b=\frac{0,15}{\phi_I\cdot(0,3+\delta_e)} $$ где    ϕl  — коэффициент, учитывающий влияние длительности действия нагрузки;         δe — относительное значение эксцентриситета;         ks=0,7 — коэффициент для арматуры.Запишем уравнение жесткости сечения железобетонной балки относительно уровня нейтрального слоя, так как поворот сечения осуществляется именно относительно этой линии.$$I(x)=\frac{b}{3}\cdot x^3+[(h_0-\delta)-x]^3,$$(2)$$ I_s(x)=I_{sc}+I_s+A'_{sx}-a'2+A_sh_0-x^2, $$(3)где   x  — высота сжатой зоны;         δ  — глубина трещины;         b  — ширина сечения;         h0  — рабочая высота бетона;         Isc , Is  — моменты инерции относительно своих центров тяжести сжатой и растянутой арматуры соответственно;         A's, As  — расчетные площади сжатой и растянутой арматуры соответственно.Значения Isc , Is  пренебрежимо малы в сравнении с остальными слагаемыми, поэтому приравняем их к нулю и в дальнейших расчетах рассматривать не будем.Подставив выражения (2), (3) в исходное выражение (1) получаем формулу для оценки жесткости железобетонной балки в зависимости от положения нейтрального слоя или высоты сжатой зоны бетона:$$D=k_bE_b\frac{b}{3} \cdot (x^3+[(h_0-\delta)-x]^3+k_sE_s(A'_s(x-a')^2+A_s(h_0-x)^2),$$(4)Для удобства записи введем коэффициенты a1, a2, a3:a1=kbEbb(h0-δ)+ksEs(A's+As),(5)a2=kbEbb(h0-δ)2+ksEs(A'sa'+Ash'0),(6)$$a_3=\frac{k_bE_bb(h_0-\delta)^3}{3}+k_sE_s(A'_sa'^2+A_sh^2_0).$$(7)Конечное уравнение запишем в виде:D=a1x2-a2x+a3.(8)Для примера возьмём железобетонную балку 1ПБ-10-1П, характеристики которой представлены в Таблице 1. Схема загружения и сечение балки представлено на Рис. 1 и 2 соответственно.Таблица 1Оценка эффективности компонентов добавкиМаркаРазмеры, ммМасса, кгEs,МПаEb,МПаLL0bb'hh0aa'dδ1ПБ-10-1П103093012080655312184Var(0…h0)203х1042х105 Рис. 1.  Расчетная схема балки 1 ПБ-10-1ПРис. 2.  Сечение балки 1 ПБ-10-1ППрименим уравнение (8) к исходной балке и определим те состояния, в которых жесткость достигает своих минимальных/максимальных значений и не может выходить за отведенные границы.Уравнение (8) является квадратным, график которого представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх, а вершина имеет координаты (m, n), где$$m=-\frac{-a_2}{2 \cdot a_1},$$(9)$$n=-\frac{a_2^2-4 \cdot a_1 \cdot a_3}{4 \cdot a_1},$$(10)Необходимо найти экстремумы функции D(x, δ). Принимая во внимание, что высота сжатой зоны x не может быть больше остаточной высоты бетонного сечения построим графики Xminδ=mδ, Xmaxδ=h0-δ  (Рис. 3). Превалирующим условием является условие максимума, второстепенным — условие минимума. Таким образом, высота сжатой зоны должна находиться в выделенной области графика в любом состоянии балки.Рис 3. Область допустимых значений высоты сжатой зоны бетонаНазовем трещины, глубина которых попадает в 1 и 2 области трещинами первого и второго типа соответственно, и исследуем распределение напряжений в сечении и высоту сжатой зоны бетона. Для этого смоделируем в программном комплексе «ELCUT» данные случаи (Рис. 4–6), рассматривая железобетонную балку как упруго-деформируемую систему.Рис. 4. Модель балки без трещинРис. 5. Модель балки с трещиной первого типаРис. 6. Модель балки с трещиной второго типаПолученные результаты представлены в Табл. 2.Таблица 2Результаты исследованияТип трещиныРезультаты моделированияРезультаты теоретического расчетаГлубинатрещины δ, ммОстаточная высотасечения бетона, ммВысота сжатойзоны x, ммМаксимальное значенивысоты сжатой зоныXmax, ммМинимальное значениевысоты сжатой зоныXmin, ммБезтрещины-60,0029,6553,0030,00Первыйтип23,0037,0027,3335,0027,00Второйтип43,0017,0015,3117,000,00Вывод: таким образом, с использованием математических зависимостей, были определены границы нахождения фактического значения высоты сжатой зоны бетона x, которые подтверждаются моделированием с использованием метода конечных элементов.Полученные результаты позволят приблизиться к решению задачи теоретического обоснования вибрационного метода обследования железобетонной конструкции, усовершенствования методов его проведения и повышения точности получаемых результатов.